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Convierte una función característica en serie coseno15 min de lectura
Método COS para valorar opciones
Aprende cómo el método COS combina una densidad truncada, coeficientes Fourier-coseno, coeficientes del pago y controles de convergencia
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
COS trunca la distribución del logprecio a un intervalo finito, expande la densidad en una serie coseno y obtiene sus coeficientes desde la función característica. Los coeficientes del pago convierten la expansión en precio descontado
COS es un método de valoración por series
Supón que un estado logarítmico terminal X tiene función característica conocida y la opción paga v(X)
Tras descontar bajo la medida coherente, el valor buscado es la integral de v(x) contra la densidad condicional de X
COS aproxima esa integral con una serie coseno finita en vez de simular sendas o resolver hacia atrás una malla de precios
Primero se trunca el rango infinito
Como los logprecios suelen vivir en toda la recta real, se elige [a,b] para contener la mayor parte de la masa relevante
La probabilidad fuera de [a,b] crea error de truncamiento del dominio antes de omitir términos coseno
Un intervalo estrecho pierde colas; uno demasiado amplio necesita más términos para resolver el mismo detalle local
La función característica da los coeficientes
En [a,b], la densidad se expande en cos(kπ(x−a)/(b−a)) para enteros no negativos k
Sus coeficientes se aproximan con Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}, sin recuperar explícitamente toda la densidad
El término de frecuencia cero recibe peso medio en la suma primada habitual, una convención pequeña que afecta al nivel del precio
Los coeficientes del pago completan la fórmula
Cada coeficiente de densidad se multiplica por la integral de v(x) contra la base coseno correspondiente en [a,b]
Calls y puts europeas tienen coeficientes analíticos; otros pagos pueden exigir integración numérica estable
Al separar coeficientes de modelo y pago, muchos strikes o contratos reutilizan gran parte del trabajo de transformada
La convergencia rápida es condicional
Densidades suaves con coeficientes que decaen deprisa pueden dar convergencia muy rápida, a menudo exponencial, al aumentar N
Plazos cortos, densidades agudas, átomos, colas pesadas o pagos discontinuos frenan la convergencia y causan oscilación
La fama de velocidad depende de la regularidad y no garantiza una precisión fija para todo modelo y pago
Elegir el intervalo forma parte del error
Una heurística común usa cumulantes, como c₁±L√(c₂+√c₄), si existen y la convención es aplicable
La escala L no es universal y cumulantes altos inestables o inexistentes pueden volver engañosa una regla familiar
Cotas de cola, intervalos de referencia más amplios y estabilidad entre varios [a,b] dan evidencia más fuerte
La validación separa rango y serie
Amplía [a,b] con N suficientemente grande para diagnosticar el dominio y luego aumenta N sobre un intervalo estable
Comprueba φ(0), peso medio del término cero, descuento, coeficientes, paridad, cotas, monotonía y convexidad
Compara precios elegidos con cuadratura Fourier directa u otro método independiente antes de usar COS en calibración
Preguntas frecuentes
¿Qué es el método COS?
Es un método que aproxima la densidad terminal con una serie Fourier-coseno cuyos coeficientes provienen de su función característica
¿COS es igual que valoración FFT?
No. Ambos usan transformadas, pero COS evalúa una expansión coseno en un intervalo elegido sin exigir la misma malla enlazada de strikes FFT
¿Cómo se elige [a,b]?
Las heurísticas de cumulantes son comunes, pero deben validarse con información de colas y estabilidad porque no hay una anchura universal
¿Por qué puede ser inexacto COS?
Intervalo estrecho, pocos términos, poca regularidad, pagos discontinuos, errores de coeficientes o transformadas inválidas pueden causar fallos
Fuentes
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