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Valora opciones sin escribir la densidad15 min de lectura
Valoración de opciones con funciones características
Entiende cómo una función característica neutral al riesgo codifica distribuciones y se convierte en precios mediante inversión de Fourier y transformadas del pago
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
La función característica φ(u)=E[e^{iuX}] codifica de forma única la distribución del logprecio bajo la medida elegida. La inversión de Fourier la combina con el pago transformado para recuperar el valor descontado de la opción
La función característica guarda una distribución
Para una variable real X, φ(u)=E[e^{iuX}] está definida en toda frecuencia real u porque el módulo de la exponencial compleja es uno
A diferencia de la función generadora de momentos, no exige momentos exponenciales finitos para existir sobre la recta real
Sus valores en todas las frecuencias determinan la ley de X y codifican ubicación, dispersión, asimetría, colas y discontinuidades
Primero se fijan la medida y la variable de estado
Para un pago europeo h(S_T), el precio neutral al riesgo básico es E^Q[e^{-∫r ds}h(S_T)] bajo condiciones que sostengan esa medida
Los métodos suelen usar X_T=log S_T o un logprecio forward, pero el descuento y la convención de numerario deben coincidir con la transformada
No se puede insertar una función de la medida física en un precio neutral al riesgo sin especificar bien el cambio de medida
La inversión de Fourier recupera probabilidades
Con suficiente regularidad, una integral inversa recupera la densidad desde φ; otras fórmulas recuperan la función de distribución
La inversión de Gil–Pelaez expresa probabilidades acumuladas o de cola mediante la parte imaginaria de e^{-iux}φ(u)/u
Son integrales impropias: el límite cerca de cero y las altas frecuencias requieren análisis y cuidado numérico
El pago exige su propio tratamiento
El pago de una call crece con S_T, por lo que su transformada no es integrable en la recta real sin amortiguación o cambio de contorno
Se puede transformar un precio amortiguado, transformar el pago en una franja válida o separar la call en probabilidades de activo y strike
Fórmulas equivalentes pueden usar distintos signos, normalizaciones, estados y argumentos complejos
La tratabilidad del modelo entra por φ
Black–Scholes, Heston, saltos afines y muchos modelos de Lévy ofrecen funciones características más fáciles que densidades de transición
La función refleja supuestos, parámetros neutrales al riesgo, horizonte, estado inicial, correlaciones y compensadores de saltos
Conocer φ es una ventaja computacional, no prueba de que la dinámica elegida ajuste precios observados o retornos futuros
La inversión numérica tiene un presupuesto de error
Los límites finitos causan error de truncamiento, el espaciado causa error de cuadratura y la FFT puede añadir aliasing e interpolación
La cancelación oscilatoria y las ramas del logaritmo complejo pueden producir precios suaves pero erróneos si no son coherentes
Cuadratura adaptativa, variables de control, amortiguación, fórmulas alternativas y mayor precisión atacan errores distintos
La validación debe superar un solo precio
Comprueba φ(0)=1, la simetría φ(−u)=overline{φ(u)} y el momento de martingala requerido por la convención del activo
Compara con Black–Scholes u otro límite conocido, paridad put–call, monotonía, convexidad y un método numérico independiente
Varía límites, mallas, amortiguación, tolerancias, plazos y strikes; los dígitos fiables deben resistir cambios razonables
Preguntas frecuentes
¿Qué es una función característica?
Es φ(u)=E[e^{iuX}], una transformada compleja que determina de forma única la distribución de probabilidad de X
¿Por qué se usa para valorar opciones?
Muchos modelos ofrecen φ en forma cerrada o semicerrada aun cuando no dan directamente la densidad ni la esperanza del pago
¿Es igual a una función generadora de momentos?
No. La característica usa un argumento imaginario y existe para u real; la generadora puede fallar si divergen los momentos exponenciales
¿Puedo invertir φ directamente para valorar una call?
No sin tratar pago, medida, descuento e integrabilidad; suelen hacer falta amortiguación, cambio de contorno o descomposición probabilística
Fuentes
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