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Convierte una transformada en una franja de precios15 min de lectura
Valoración Fourier de opciones con Carr–Madan
Aprende cómo la amortiguación de Carr–Madan, las funciones características desplazadas, las mallas FFT y el control de errores producen precios de opciones
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Carr–Madan multiplica la función de precios call por una amortiguación exponencial para hacerla transformable. Una función característica desplazada en el plano complejo da la transformada y la FFT recupera muchos logstrikes a la vez
Es un motor de valoración, no un modelo
Carr–Madan parte de una función característica neutral al riesgo del logprecio terminal y de precios call europeos sobre logstrikes
Reordena la misma esperanza descontada en el espacio de Fourier, donde cálculos tipo convolución se vuelven productos e integrales regulares
No elige volatilidad, saltos ni primas de riesgo; esos elementos llegan mediante la función característica específica del modelo
La amortiguación repara la transformada de la call
Cuando el logstrike k tiende a menos infinito, la call se acerca a la región intrínseca tipo forward y no es integrable sobre todo k
Multiplicar C(k) por e^{αk}, para un α positivo adecuado, produce una función que decae en ambos extremos si existe el momento requerido
Alpha es una herramienta analítica, no una preferencia de mercado ni otro parámetro del modelo que calibrar
Un desplazamiento complejo une precio y distribución
Bajo una convención común, la transformada de e^{αk}C(k) usa la función del logprecio evaluada en u−i(α+1)
El denominador del pago transformado contiene α y u; los signos cambian con la convención de Fourier o la definición del logprecio
El desplazamiento requiere que E[S_T^{α+1}] sea finito, por lo que un α arbitrariamente grande puede salir del dominio de momentos
La FFT crea dos mallas vinculadas
La integral puede evaluarse strike a strike; la FFT calcula en una operación una franja regularmente espaciada de logstrikes
Con N puntos, el paso de frecuencia η y el paso de logstrike λ obedecen una relación recíproca usualmente escrita λη=2π/N
Con N fijo, ampliar el rango de strikes reduce la resolución, así que cobertura y espaciado no son independientes
Varios errores pueden parecer conducta del modelo
Truncar la integral infinita genera error de cola y discretizarla genera error de cuadratura
La extensión periódica de la transformada discreta causa aliasing y los strikes fuera de malla añaden error de interpolación
Los pesos de Simpson pueden ayudar a la cuadratura, pero no corrigen un rango corto, momentos inválidos ni una función inestable
Alpha debe estar dentro de la franja de momentos
Debe ser bastante grande para amortiguar el pago y bastante pequeño para que la función desplazada exista y sea estable
La elección depende del plazo, parámetros, colas y convención; no hay garantía de un alpha universal
Prueba un intervalo admisible y exige que los precios coincidan dentro de la tolerancia, en vez de optimizar un solo resultado
El uso en producción exige controles independientes
Recupera primero Black–Scholes y comprueba paridad put–call, monotonía por strike, convexidad, cotas y condición de martingala
Aumenta N, rango y precisión por separado para identificar convergencia sin cambiar todos los controles a la vez
Compara strikes seleccionados con cuadratura directa y otro método; la velocidad importa tras entender el presupuesto de error
Preguntas frecuentes
¿Qué calcula el método Carr–Madan?
Usa una función característica neutral al riesgo e inversión de Fourier para calcular opciones europeas, a menudo en muchos strikes a la vez
¿Por qué se amortigua el precio call?
La función sin amortiguar no es integrable sobre todos los logstrikes; la amortiguación exponencial permite su transformada de Fourier
¿Es obligatoria la FFT?
No. La integral puede evaluarse por cuadratura directa; la FFT es una implementación eficiente en malla con restricciones propias
¿Cómo se elige alpha?
Se elige dentro del dominio de momentos finitos y se verifica la estabilidad del precio en un rango admisible y varios ajustes numéricos
Fuentes
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