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Réplica discreta12 min de lectura
Modelo binomial para valorar opciones explicado
Aprende cómo un árbol binomial usa réplica de un periodo, probabilidad neutral al riesgo, inducción hacia atrás y ejercicio anticipado
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
El modelo binomial supone que el subyacente sube o baja por periodo y calcula la opción hacia atrás desde su pago final. La probabilidad neutral al riesgo pondera precios sin arbitraje; no pronostica el próximo movimiento
Un periodo contiene la lógica de valoración
Supongamos que el precio S pasa en un periodo al estado alcista Su o al estado bajista Sd, con un factor u mayor que d
La opción paga Cᵤ y C_d en esos dos estados. Una combinación del subyacente y efectivo puede reproducir ambos pagos a la vez
Si la cartera replicante entrega lo mismo que la opción en cada estado, el no arbitraje obliga a que sus valores actuales sean iguales
Delta y efectivo replican los dos estados
La razón de cobertura es delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd), la diferencia de pagos dividida entre la diferencia de precios del subyacente
Tras fijar delta, un préstamo o depósito iguala el pago restante en ambos estados. Descontar ese efectivo completa el valor actual
El precio nace de la réplica por estados, sin necesidad de adivinar cuál de las dos ramas es más probable en el mundo real
La probabilidad neutral al riesgo pondera precios
El mismo valor puede escribirse como el promedio de los dos valores futuros ponderado por una probabilidad neutral al riesgo q y luego descontado
q hace que la esperanza del subyacente con carry siga el crecimiento libre de riesgo o a plazo. No tiene por qué coincidir con la frecuencia histórica de subidas
Para evitar arbitraje, el crecimiento con carry debe quedar entre d y u y así q permanece entre cero y uno. Si no, los parámetros son incoherentes
El árbol recombinante reduce la complejidad
La lógica de un periodo se repite. En un árbol recombinante, una subida seguida de una bajada llega al mismo nodo que una bajada seguida de una subida
Después de n periodos hay n + 1 precios terminales distintos, no 2ⁿ, lo que mantiene práctico el cálculo
El esquema Cox–Ross–Rubinstein suele obtener u y d de la volatilidad y el intervalo, usando movimientos recíprocos para lograr la recombinación
La inducción hacia atrás produce el valor actual
Primero se calcula el pago contractual en todos los nodos del vencimiento. Después se descuenta la esperanza neutral al riesgo en cada nodo anterior
El proceso se repite hasta la raíz. Cada número intermedio es un valor modelado condicionado a los estados alcanzables desde ese nodo
Dividendos, curva de tipos y volatilidad variable deben incorporarse de forma coherente en cada periodo, no mediante un único ajuste al final
El ejercicio americano añade una elección por nodo
En cada nodo elegible se compara el valor de ejercicio inmediato con el valor descontado de continuar. La opción americana toma el mayor
Esta sencilla operación de máximo identifica la región de ejercicio y aporta una flexibilidad que no ofrece la fórmula europea básica de Black–Scholes
La decisión sigue dependiendo del modelo. Dividendos discretos, préstamo de valores, liquidación y tamaño del periodo pueden mover mucho la frontera estimada
Más periodos mejoran la aproximación, no el modelo
Con una configuración adecuada, al refinar los periodos el precio binomial puede converger al modelo continuo correspondiente, como Black–Scholes
La convergencia puede oscilar según la posición del precio de ejercicio entre nodos. Distintas parametrizaciones también cambian sesgo y estabilidad
Más pasos reducen el error de discretización interno, pero no corrigen volatilidad errónea, saltos omitidos, dividendos mal tratados ni precios no ejecutables
El árbol debe verificarse antes de usarlo
Compruebe límites de no arbitraje, paridad put-call europea, monotonicidad, convexidad y convergencia al aumentar el número de periodos
Compare contratos europeos con una fórmula cerrada y americanos con un método independiente. Pruebe también vencimiento cero, precios extremos y fechas de dividendo
Documente convención del árbol, carry, calendario, fechas de ejercicio y pasos. Sin esa configuración, el precio no es reproducible
Preguntas frecuentes
¿Qué es un árbol binomial en la valoración de opciones?
Es un modelo discreto donde el subyacente sube o baja en cada periodo y el valor se calcula hacia atrás desde el pago final
¿La probabilidad neutral al riesgo predice una subida?
No. Es una ponderación que hace que el subyacente con carry respete la relación de no arbitraje dentro del árbol
¿Por qué se recombina un árbol binomial?
Los factores se eligen para que subir y luego bajar produzca el mismo precio que bajar y luego subir, reduciendo el número de nodos
¿Puede un árbol binomial valorar opciones americanas?
Sí. En cada fecha de ejercicio compara el valor intrínseco con el valor de continuación y conserva el mayor
Fuentes
Aplique esta idea a una opción
Elija un contrato y un objetivo para mantener visibles los supuestos de precio, tiempo y volatilidad en un mismo análisis
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