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離散複製約12分鐘
二項樹期權定價模型詳解
理解二項樹如何利用單期複製、風險中性概率、向後遞推和提早行使比較計算期權價值
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
二項樹期權定價模型假設相關資產每一期只會進入上升或下跌節點，再從到期收益開始向後遞推至現值。風險中性概率是符合無套戥與狀態複製關係的定價權重，並非預測市場下一步方向的概率
單期模型包含完整定價邏輯
設相關資產價格 S 一期後變為上升狀態 Su 或下跌狀態 Sd，其中上升系數 u 大於下跌系數 d
期權在兩個狀態分別支付 Cᵤ 和 C_d。利用相關資產和現金的組合，可以同時複製兩個狀態的支付
複製組合與期權在各狀態的支付相同，無套戥原則便要求它們今天的價值也相同
Delta與現金複製兩種狀態
對沖比率是 delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)，即收益差除以相關資產價格差
定出Delta後，再用借款或存款補足兩個狀態餘下的支付。把這部分現金折現便得到現值
價格來自逐狀態複製，無須猜測現實中哪一條分支出現的機會較高
風險中性概率是定價權重
同一價值也可寫成兩個未來期權價值按風險中性概率 q 加權平均後再折現的結果
q 令包含持有成本的相關資產期望值按無風險或遠期增長率變化，毋須等於歷史上升頻率
無套戥要求含持有成本的增長率介乎 d 與 u，使 q 落在0與1之間，否則樹的參數互相矛盾
重組樹降低計算複雜度
把單期邏輯重複至多個時段。在重組樹中，先升後跌與先跌後升會到達同一價格節點
n期後不同的到期價格節點不是 2ⁿ 個，而是 n + 1 個，因此計算仍然實用
Cox–Ross–Rubinstein方法通常按波幅和時段長度設定 u 與 d，並讓兩者互為倒數以形成重組
向後遞推產生今天的價值
先在所有到期節點計算合約收益，再從每個父節點把風險中性期望值折現，逐期向前回推
重複直至根節點。每個中間數字都是以該節點可到達狀態為條件的模型價值
股息、利率期限結構和時變波幅要在每一期一致處理，不能只在最後一次過調整
美式期權加入逐節點行使選擇
在每個可行使節點比較即時行使價值與折現後的繼續持有價值，美式期權取兩者較高者
這個簡單的最大值運算找出行使區域，也是二項樹較基本歐式Black–Scholes閉式公式靈活的重要原因
行使結果仍取決於模型。離散股息、借貨、交收方式和時段長度都會大幅移動估計行使邊界
增加期數只改善近似
在合適設定下，時段變細時，二項價格可收斂至相應的連續時間模型，例如Black–Scholes
行使價在節點之間的位置或會造成收斂震盪，不同樹的參數設定也會改變偏差和穩定性
更多期數只能減少模型內的離散誤差，不能修正錯誤波幅、遺漏跳躍、股息錯誤或不能成交的報價
使用前應驗證整棵樹
檢查無套戥邊界、歐式認購認沽平價、單調性、凸性，以及增加期數時的收斂情況
把歐式期權與閉式公式比較，把美式期權與獨立方法比較，並測試到期、極端資產價格和除息日
記錄樹的慣例、持有成本、日曆、行使時間表和期數。缺少這些設定，價格便無法重現
常見問題
期權定價中的二項樹是甚麼？
它是假設相關資產每期上升或下跌，再從到期收益向後計算期權價值的離散模型
風險中性概率是股價上升概率嗎？
不是預測概率，而是令包含持有成本的資產在樹內符合無套戥關係的定價權重
二項樹為何會重組？
參數令先升後跌與先跌後升得出同一價格，從而減少不同節點的數量
二項樹能為美式期權定價嗎？
可以。模型在每個行使時點比較內在價值與繼續持有價值，並選擇較高者
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權