적률 폭발과 Lee의 적률 공식 이해하기

비음수 만기가격 S_T의 E[S_T^r]은 r이 양수이면 큰 가격을, 음수이면 0에 가까운 가격을 강하게 가중합니다

유한분산은 한 차수만 다루지만 옵션 날개는 유한한 양의 적률과 역적률 전체 영역의 경계와 연결됩니다

이들은 고정 만기의 위험중립 적률이며 현실 수익률의 표본 추정치나 미래 빈도에 대한 약속이 아닙니다

차수 r에 대해 T_c(r)=sup{t:E[S_t^r]<∞}로 폭발시간을 정의하며 일부 모형은 극단적인 r에서 T_c(r)이 유한합니다

확률과정의 개별 경로는 잘 정의되어도 매우 드문 결과가 고차 적률을 무한하게 만들 수 있습니다

따라서 적률 폭발은 분산의 0 접촉, 모의상태의 음수나 자산경로가 유한시간에 발산하는 현상과 다릅니다

만기 T에서 오른쪽은 p_c=sup{p≥0:E[S_T^{1+p}]<∞}, 왼쪽은 q_c=sup{q≥0:E[S_T^{-q}]<∞}로 정의합니다

p_c가 크면 더 많은 양의 적률이 유한해 허용되는 오른쪽 꼬리가 가볍고, q_c는 0 근처의 왼쪽 꼬리에 같은 정보를 줍니다

임계값은 만기, 모형모수, 가격결정측도와 끝점을 포함하는지에 관한 규약에 따라 달라집니다

k=log(K/F_T), 총 내재분산 w(k,T)=σ_imp(k,T)²T를 일관된 선도 규약으로 정의합니다

오른쪽 날개는 limsup_{k→∞}w(k,T)/k=ψ(p_c)이고 ψ(x)=2−4(√(x²+x)−x)이며 왼쪽은 ψ(q_c)를 사용합니다

ψ는 2에서 0으로 감소하므로 유한 적률이 적으면 더 가파른 날개를 허용하고 많으면 점근 날개를 더 평평하게 제한합니다

이는 극단 로그머니니스의 limsup에 관한 결과로 상장 행사가의 국소 스큐나 정한 지점부터 시작하는 정확한 직선이 아닙니다

적률정보로 점근 기울기를 정하지만 절편, 곡률, 수렴속도나 유한 행사가의 스마일은 정하지 않습니다

무차익이 틀을 제공해도 실제 표면은 행사가와 만기 전체에서 달력·버터플라이 일관성을 따로 만족해야 합니다

Heston 같은 affine 변동성 모형의 지수적 적률은 실수 변환 인수에서 평가한 일반화 Riccati 해와 연결됩니다

특정 적률 차수의 Riccati 해가 폭발할 수 있어 모형모수로 폭발시간이나 임계 적률을 계산할 수 있습니다

실수 주파수의 특성함수는 유효해도 옵션 변환이 요구하는 복소 이동은 유한 적률 영역 밖일 수 있습니다

만기별 p_c와 q_c를 계산하고 마팅게일 조건을 별도로 확인하며 변환 감쇠가 유한 적률 띠 안에 있는지 검사합니다

보정 날개 기울기를 Lee 경계, 실제 호가 범위, 정적 무차익 검사와 모수 불확실성에 비교해야 합니다

임계 적률이 불안정하면 모형위험의 증거로 봐야 하며 작은 보정 변화가 유동적인 행사가 밖에서 큰 차이를 만들 수 있습니다