Carr–Madan Fourier 옵션 가격결정 이해하기

Carr–Madan은 만기 로그가격의 위험중립 특성함수와 로그행사가 전체의 유럽형 콜가격 함수에서 출발합니다

같은 할인 기대값을 Fourier 공간에서 다시 배열해 합성곱 형태의 계산을 곱셈과 정규 적분으로 바꿉니다

변동성, 점프나 위험 프리미엄을 정하지 않으며 이 요소들은 모형별 특성함수를 통해 들어옵니다

로그행사가 k가 음의 무한대로 가면 콜은 선도와 비슷한 내재영역에 접근해 전체 k 구간에서 적분가능하지 않습니다

적절한 양수 α에 대해 C(k)에 e^{αk}를 곱하면 필요한 적률조건 아래 양끝에서 감쇠하는 함수가 됩니다

감쇠모수는 분석 도구이며 시장 선호나 보정해야 할 추가 모형모수가 아닙니다

흔한 규약에서 e^{αk}C(k)의 Fourier 변환은 u−i(α+1)에서 평가한 로그가격 특성함수를 사용합니다

변환된 콜 지급의 분모에는 α와 주파수 u가 들어가며 Fourier 부호나 로그가격 정의가 바뀌면 식의 부호도 바뀝니다

복소 이동에는 E[S_T^{α+1}]의 유한성이 필요하므로 α를 무작정 키우면 모형의 적률 영역을 벗어납니다

적분을 행사가마다 따로 계산할 수도 있지만 FFT는 등간격 로그행사가 묶음을 한 번에 계산합니다

점의 수 N, 주파수 간격 η와 로그행사가 간격 λ는 흔히 λη=2π/N으로 쓰는 역수 관계를 가집니다

N이 고정되면 더 넓은 행사가 범위는 더 거친 간격을 뜻하므로 범위와 해상도를 독립적으로 고를 수 없습니다

무한 주파수 적분을 자르면 꼬리 절단오차가, 이산화하면 구적오차가 생깁니다

이산변환의 주기적 연장은 에일리어싱을 만들고 격자 밖의 행사가를 쓰면 보간오차가 더해집니다

Simpson 가중치는 일부 구적오차를 줄여도 부족한 범위, 유효하지 않은 적률이나 불안정한 특성함수까지 고치지는 못합니다

Alpha는 지급을 충분히 감쇠할 만큼 크면서 이동된 특성함수가 존재하고 수치적으로 안정적일 만큼 작아야 합니다

좋은 값은 만기, 모형모수, 꼬리 행동과 변환 규약에 따라 달라 하나의 보편적 alpha를 보장할 수 없습니다

허용되는 여러 alpha에서 가격이 목표 허용오차 안에 일치하는지 확인해야 하며 한 결과에 최적화하면 안 됩니다

먼저 Black–Scholes 가격을 복원하고 풋콜패리티, 행사가 단조성, 볼록성, 가격경계와 마팅게일 조건을 검사합니다

N, 적분범위와 정밀도를 하나씩 늘려 어떤 조절값이 수렴을 만드는지 구분합니다

일부 행사가를 직접 구적법과 다른 가격기법으로 비교해야 하며 오차 예산을 이해한 뒤에야 속도가 의미를 가집니다