이항 옵션 가격결정 모형 이해하기

기초자산 가격 S가 한 구간 뒤 상승 상태의 Su 또는 하락 상태의 Sd가 된다고 둡니다. u는 d보다 큽니다

옵션은 두 상태에서 Cᵤ와 C_d를 지급합니다. 기초자산과 현금을 조합해 두 지급액을 모두 복제할 수 있습니다

복제 포트폴리오의 상태별 지급액이 같으므로 무차익 원리에 따라 현재가치도 옵션과 같아야 합니다

헤지 비율은 지급액 차이를 기초자산 가격 차이로 나눈 delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)입니다

델타를 정한 뒤 각 상태에 남은 지급액은 대출이나 차입으로 맞춥니다. 이 현금을 할인하면 현재가치가 완성됩니다

어느 가지가 현실에서 더 유력한지 추측하는 대신 상태별 복제에서 가격이 나온다는 경제적 의미가 분명해집니다

같은 가치는 위험중립확률 q로 두 미래 옵션가치를 가중평균한 뒤 할인한 값으로 쓸 수 있습니다

q는 일관된 캐리 아래 가중 기초자산 기대값이 무위험 또는 선도 성장률을 따르도록 정합니다. 역사적 상승 빈도와 같을 필요는 없습니다

무차익이려면 캐리한 성장률이 d와 u 사이에 있어 q가 0과 1 사이가 돼야 합니다. 그렇지 않으면 트리 입력이 모순입니다

한 단계 논리를 여러 구간에 반복합니다. 재결합 트리에서는 상승 뒤 하락한 경로와 하락 뒤 상승한 경로가 같은 노드에 닿습니다

n단계 뒤 고유한 만기 가격 노드는 2ⁿ개가 아니라 n + 1개이므로 계산이 실용적입니다

Cox–Ross–Rubinstein 방식은 흔히 변동성과 구간 길이로 u와 d를 정하고 서로 역수인 움직임으로 트리를 재결합합니다

먼저 모든 만기 노드에서 계약 지급액을 계산합니다. 그다음 각 부모 노드에서 위험중립 기대값을 할인하며 한 단계씩 돌아옵니다

루트에 닿을 때까지 반복합니다. 모든 중간 숫자는 그 노드에서 도달 가능한 상태에 조건부인 모형 가치입니다

배당, 금리 기간구조와 변하는 변동성은 단계마다 일관되게 처리해야 하며 마지막에 한 번만 조정하면 안 됩니다

행사할 수 있는 각 노드에서 즉시행사 가치와 할인한 계속 보유 가치를 비교합니다. 미국형 가치는 둘 중 큰 값입니다

이 단순한 최대값 연산이 행사영역을 찾습니다. 기본 유럽형 Black–Scholes 닫힌 공식보다 유연한 중요한 이유입니다

행사 결과도 모형에 달려 있습니다. 이산 배당, 대차, 결제와 시간 간격은 추정 행사경계를 크게 움직일 수 있습니다

적절한 설정에서 단계를 촘촘히 하면 이항 가격은 Black–Scholes 같은 대응 연속시간 모형으로 수렴할 수 있습니다

행사가가 노드 사이 어디에 놓이는지에 따라 수렴이 진동할 수 있습니다. 트리 모수화마다 편향과 안정성도 다릅니다

더 많은 단계는 모형 안의 이산화 오차를 줄일 뿐 잘못된 변동성, 빠진 점프, 배당 오류나 체결 불가능한 호가를 고치지 못합니다

무차익 경계, 유럽형 풋콜 패리티, 단조성, 볼록성과 단계 증가에 따른 수렴을 검사합니다

유럽형은 닫힌 공식과, 미국형은 독립 방법과 비교합니다. 잔존시간 0, 극단 현물과 배당일 같은 경계 사례도 시험합니다

트리 관행, 캐리, 달력, 행사 일정과 단계 수를 기록합니다. 이 설정이 없는 가격은 재현할 수 없습니다