애로–드브루 상태가격: 미래의 각 상태에는 얼마의 가격이 붙을까

유한한 미래 상태가 있을 때 애로–드브루 증권은 지정한 상태에서 1, 다른 모든 상태에서 0을 지급합니다

벡터의 단위기저처럼 각 상태증권을 조합하면 어떤 상태별 지급액도 만들 수 있습니다. 이것이 완전시장의 핵심 표현입니다

상태증권이 직접 거래되지 않아도 기존 자산의 조합으로 같은 지급을 복제할 수 있다면 그 가격을 무차익으로 알아낼 수 있습니다

상태 s의 지급액이 X_s이고 상태가격이 q_s라면 오늘 가격은 P = Σ q_s X_s입니다

모든 상태에서 1을 주는 무위험채권은 상태증권을 전부 합친 것이므로 그 가격은 Σ q_s입니다

이 표현은 비선형 계약도 만기 지급액을 상태별로 나누면 선형 가격결정 문제로 바꿉니다

현실확률 p_s와 확률할인인자 m_s가 주어지면 q_s = p_s m_s입니다. 가능성과 그 상태에서 돈의 가치가 함께 들어갑니다

나쁜 상태는 발생 가능성이 낮아도 보험 가치가 커서 높은 상태가격을 가질 수 있습니다

q_s를 채권가격으로 나누면 위험중립확률이 됩니다. 정규화 전 q_s는 확률처럼 반드시 합이 1일 필요가 없는 현재가치입니다

서로 가까운 세 행사가의 콜을 조합한 버터플라이 스프레드는 좁은 만기 가격 구간에서 양의 지급을 만듭니다

행사가 간격을 줄이면 이 지급은 특정 종가 부근에서만 반응하는 상태청구권에 가까워집니다

따라서 여러 행사가의 옵션가격은 시장이 미래 가격 상태에 붙인 상대적 가중치를 담고 있습니다

이상적인 유럽형 옵션과 매끄러운 가격곡선에서 콜 가격을 행사가로 두 번 미분하면 할인된 위험중립밀도를 얻습니다

이 Breeden–Litzenberger 결과는 개별 옵션 하나가 아니라 같은 만기의 전체 행사가 단면을 사용합니다

할인율과 만기 정의를 반영해 정규화해야 확률밀도가 됩니다. 추출된 값은 현실 예측분포가 아니라 가격결정분포입니다

콜 가격은 행사가가 높아질수록 증가할 수 없고, 행사가에 대해 볼록해야 합니다. 그렇지 않으면 수직·버터플라이 차익거래가 생깁니다

볼록성은 추출된 상태가격이 음수가 되지 않게 하는 핵심 조건입니다. 단순 보간이 이 조건을 깨뜨릴 수 있습니다

완전시장에서는 양의 상태가격 체계가 가격을 유일하게 정하지만 불완전시장에서는 관측 지급액 밖의 상태가격이 여러 방식으로 연장될 수 있습니다

옵션 행사가가 성기고 호가가 오래됐거나 스프레드가 넓으면 두 번째 미분이 작은 잡음을 크게 증폭합니다

미국형 조기행사·배당·금리·선물과 현물 기준·결제방식·시간 불일치도 상태가격을 왜곡할 수 있습니다

원자료 선택, 무차익 보정, 보간과 평활화, 꼬리 외삽, 할인 입력을 공개하고 재가격 오차와 민감도를 함께 점검해야 합니다