全部期权指南
作为自由边界的行权阅读约15分钟
变分不等式与美式期权自由边界
理解美式期权如何结合收益障碍、继续区域PDE、互补条件、自由边界、光滑贴合与数值检验
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
美式期权的变分不等式结合两个要求：价值不能低于立即行权收益，并且在等待最优的区域满足继续定价方程。两项条件接触的位置，会与期权价值一起确定未知的最优行权边界，因此边界本身也是解的一部分
立即行权形成收益障碍
令g(t,S)为行权收益，V(t,S)为美式期权价值
持有人可以立即行权，因此到期前每个容许时点和状态都满足V ≥ g
所以收益不仅是终端条件，也是位于价值曲面下方的障碍
继续区域服从定价方程
在V > g处，立即行权不是最优，期权仍然存续
在继续区域，扩散模型给出∂_tV + LV - rV + f = 0，并调整股息或期间现金流
方程只在选择继续时成立；若在行权区域也强制成立，就忽略了停止权
互补条件连接两个区域
一种常见符号约定是max(g-V, ∂_tV + LV - rV + f) = 0
因此V-g ≥ 0，继续残差具有相容符号，并且每一点至少有一项取等号
等价的min形式会反转符号，所以算子和不等式约定必须同时核对
行权边界也是解的一部分
V = g的集合是停止区域，V > g的集合是继续区域
两者界面的位置在求解前未知，因此称为自由边界
标准美式看跌期权常有随时间变化的临界标的价格，但利率、股息、跳跃和约束会改变形状
价值贴合比光滑贴合更普遍
在正则边界，价值贴合给出V = g，光滑贴合还可能使一阶导数相等
光滑贴合需要额外路径与正则条件；跳跃、收益折角、不规则边界或约束都可能使其失败
它是应在具体模型中证明的定理，而非最优行权的普遍定义
数值方法求解互补问题
有限差分网格在每个时间步产生线性互补问题
投影SOR、罚函数、策略迭代、边界固定和回归停止规则，是对同一选择问题的不同近似
检查障碍支配、残差互补、边界单调性、网格收敛和实际行权策略给出的下界
经济输入会重塑边界
无股息股票的美式看涨期权在标准正利率下通常不提前行权，但例外条件很重要
股息、负利率、借券成本、离散支付、结算规则和行权截止时间都可能推翻熟悉结论
应使用实际合约与状态变量；简化模型中的光滑边界不能证明可交易的行权规则
常见问题
美式期权的变分不等式是什么？
它用一个互补条件同时表达立即行权权利与继续持有时的定价方程
什么是自由边界？
它是分隔最优行权状态与最优继续持有状态的未知界面
光滑贴合总是成立吗？
不是。它需要正则性与适当路径行为，在跳跃、折角、约束或不规则停止点可能失败
如何数值求解变分不等式？
常用投影迭代、罚函数、策略迭代、边界固定和支持互补条件的有限差分法
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权