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定价核12分钟
随机贴现因子：如何把时间、风险与价格连在一起
解释随机贴现因子如何给未来支付定价、风险溢价为何取决于协方差，以及它与状态价格和风险中性概率的关系
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
随机贴现因子又称定价核，是一个正随机变量m，通过P = E[mX]把未来支付X变成当前价格。它既包含普通的时间贴现，也让经济困难状态下收到的钱获得更高权重，因此能在同一框架内表达时间价值与风险价格
一个方程为多种资产定价
对于一期后的支付X，当前价格P在真实概率下满足P = E[mX]
同一个m必须给模型内所有资产定价，这项共同约束让不同证券之间的价格可以一致比较
m按未来状态把一单位支付换算为现值，并非对所有结果只用一个固定贴现率
边际效用给出经济解释
在代表性消费者模型中，m与贴现后的未来边际效用除以当前边际效用成比例
消费稀缺时边际效用较高，该状态的支付更有价值，m也更高
这一解释依赖偏好、消费和均衡假设，但定价方程本身不要求接受某个特定效用模型
风险溢价来自协方差
总回报R满足E[mR] = 1，展开为E[m]E[R] + Cov(m,R) = 1
若资产在m较高的坏状态表现很差，它提供的保险较少，通常需要更高预期回报才有人持有
在坏状态支付良好的资产与m正相关，因保险价值而可能价格更高、预期回报更低
无风险利率固定均值
已知一期无风险总回报R_f时，E[m]R_f = 1，所以E[m] = 1/R_f
m的均值负责一般的时间贴现，状态间的波动负责风险调整
若m是常数，模型只剩时间贴现，不会产生基于协方差的风险溢价
状态价格与风险中性概率只是重新缩放
离散状态的真实概率为p_s时，状态价格q_s等于p_s乘以该状态的m_s
用债券价格归一化状态价格就得到风险中性概率，三种写法以不同单位描述同一定价泛函
p_s表示真实频率，q_s是现值权重，归一化的q_s是定价概率，解释不能混用
不完备市场中可能不唯一
若可交易支付无法覆盖所有状态，多个正随机贴现因子都可能正确解释同一组资产价格
未被复制的支付需要额外模型或准则才能定价，这与等价鞅测度不唯一是同一问题
无约束统计估计还可能产生负m，破坏强无套利结论所需的正定价核条件
实证检验使用矩条件
候选模型要求每个受检回报都满足E[mR_i] = 1，样本偏差同时含定价误差与估计不确定性
Hansen–Jagannathan界把有效m的波动与可实现夏普比率相连，限制过于平滑的消费定价核
评估前应披露资产集、期限、条件信息、回报口径、抽样误差以及m是否保持为正
常见问题
如何简单理解随机贴现因子？
它是把未来支付变成当前价格的状态权重，对经济困难时收到的钱赋予更高价值
贴现因子为什么是随机的？
同样一元钱在资源稀缺的状态可能比富足状态更有价值，所以权重随未来状态变化
它如何解释风险溢价？
在m较高的坏状态表现不佳的资产保险价值低，通常需要提供更高预期回报
随机贴现因子总是唯一吗？
支付空间完备时唯一；存在无法复制的风险时，可能有多个因子为同一组交易资产定价
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权