全部期权指南
从不完整约束中选择分布阅读约15分钟
金融中的Maximum Entropy原理
理解矩与期权价格约束下的熵最大化、指数族对偶、参考测度的作用，以及隐含分布需要通过的检查
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Maximum Entropy原理在满足声明约束的分布中选择熵最大的概率分布。金融中可从矩或期权价格推断平滑风险中性规律，但“最少信息”只有相对于所选支撑集、变量、参考测度与约束才有意义
熵为可行分布排序
对离散概率p_i，Shannon熵为H(p)=−Σ_i p_i log p_i
在p_i≥0、Σ_i p_i=1及Σ_i p_i f_j(x_i)=c_j等约束下最大化H
结果不会添加超出支撑集、基准表示与声明约束所强制的拟合结构
解通常具有指数形式
对参考测度m与线性期望约束，常见解为p_θ(x)=m(x)exp[Σ_jθ_jf_j(x)−ψ(θ)]
对数归一化ψ使总概率为一，其梯度把模型期望匹配到约束值
ψ的Hessian是协方差矩阵，把对偶曲率连接到可识别性与数值条件
连续熵需要参考测度
微分熵在非线性坐标变换下会改变，并非不确定性的坐标不变量
相对明确先验或基准m最小化KL(p||m)，可让这种依赖显性化
改变状态变量、支撑集、网格或参考m，即使表面约束相同也可改变答案
期权价格成为线性约束
贴现欧式期权价格是收益函数的风险中性期望，因此可以约束终值分布
归一化与远期鞅条件必须和行权价约束、贴现、股息及合约约定一起加入
Buchen–Kelly从期权价格推断资产分布，最小交叉熵则可纳入先验规律
可行性先于优化
含噪中间价可违反价格边界、行权价单调性或凸性，使精确匹配的非负分布不存在
买卖价带、加权拟合或松弛变量可恢复可行性，但每种选择都会改变施加的信息
接近可行域边界的约束可集中质量、推高对偶乘子并恶化数值条件
平滑不是真实的证据
Maximum Entropy从未定集合中选择一个分布，并不证明市场服从该分布
稀疏行权价对尾部识别很弱，熵可能按参考测度而非经济证据铺开质量
过多含噪约束会过拟合，过少约束则隐藏微笑结构与行权价之间的不确定性
验证要重新定价并扰动
检查正值性、归一化、远期均值、全部买卖价条件与密集行权价网格的静态无套利
扰动报价、网格、支撑端点、先验、约束权重与求解容差，揭示不稳定尾部结论
比较样本外期权价格，并报告熵选择、对偶残差、活跃约束与不确定性
常见问题
什么是Maximum Entropy原理？
它在满足归一化与指定期望约束的所有概率规律中选择熵最大的规律
它能找到真实分布吗？
不能。它相对于声明的支撑、参考测度、变量与约束选择一个最少承诺的分布
期权价格如何约束分布？
每个欧式价格提供风险中性终值规律下收益函数的一项贴现期望
为什么使用相对熵？
相对熵明确先验或参考测度，而微分熵会随坐标变换改变
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权