全部期权指南
局部公平与整体损失阅读约14分钟
局部鞅与严格局部鞅详解
理解局部化、期望损失、正严格局部鞅、泡沫模型、测度变换，以及期权定价中的模型诊断
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
局部鞅在进入一系列不断扩大的危险区域前停止后，会像真正的鞅一样运行。严格局部鞅在整体上并非真鞅：即使没有局部漂移，可积性仍可能失败，非负过程的期望也可能随时间下降
局部化控制困难路径
若停止时间τ_n几乎必然递增至无穷，且每个M_{t∧τ_n}都是鞅，则适应过程M是局部鞅
这些停止时间可限制大幅偏离或随机积分，使每个局部区域的条件期望都可控
局部化是逐步扩大安全区域的证明工具，并非只在较短日历期限内近似为鞅
真鞅需要整体可积性
每个真鞅都是局部鞅，但反向结论需要额外条件，才能把极限穿过条件期望
一致可积性或适当的控制上界，是证明这种极限交换的常见条件
若缺少控制，随着局部化边界远去，概率质量可能经由越来越稀有的极端路径逸出
非负性给出超鞅而非等式
借助Fatou型论证，非负局部鞅是超鞅，所以s ≤ t时E[M_t] ≤ E[M_s]
适当可积条件下若期望保持不变，它是真鞅；若存在实际期望缺口，它就是严格局部鞅
因此局部漂移为零本身并不保证无条件期望恒定
随机指数需要鞅检验
随机指数是正局部鞅，也是测度变换中密度过程的自然候选
Novikov或Kazamaki条件可证明真鞅性质，但它们是充分检验而非可互换的定义
若候选密度是严格局部鞅，终端期望小于一，未经额外处理便无法定义预期的等价概率测度
严格性可表示模型中的泡沫
在某些资产定价定义中，贴现后的非负严格局部鞅，其市场价格高于较小的基本期望价值
两者的期望差常称为鞅缺陷，用来量化这一依赖模型的缺口
这只是在指定测度、信息、容许策略和定价规则内的陈述，不会自动证明真实资产被高估
熟悉的期权恒等式可能需要修正
标准看跌看涨平价与看涨期权的到期日单调性，通常使用贴现标的是真鞅这一性质
严格局部鞅模型中，平价可能加入缺陷项，看涨价值也可能取决于抵押或容许性约定
应从模型的期望和交易假设重新推导恒等式，而非原样套用无套利公式
使用价格前先诊断模型
应检查期望守恒、边界行为、爆炸、一致可积性，以及任何密度过程的有效性
Monte Carlo可能错过造成期望损失的稀有路径，因此稳定的样本均值只是很弱的证据
将PDE边界条件、渐近结果、严格性判据、截断敏感度与鞅缺陷估计结合模拟使用
常见问题
真鞅与局部鞅有什么区别？
真鞅满足整体可积性与条件期望等式；局部鞅只在适当停止后满足这些条件
什么使局部鞅成为严格局部鞅？
它是局部鞅却不是真鞅；对非负过程，常表现为可积性失败或期望下降
正局部鞅的期望能上升吗？
不能。非负局部鞅是超鞅，期望不会上升，但有可能保持不变
严格局部鞅为何影响期权？
它会引入鞅缺陷、改变熟悉的平价，并使价格对边界和容许性约定敏感
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权