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回答不同问题的两个极限定理阅读约15分钟
大数定律与中心极限定理比较
比较样本均值的收敛与其误差分布，包括弱和强大数定律、缩放、依赖、遍历性及金融解释
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
大数定律说，在适当条件下样本均值趋近总体均值。中心极限定理描述围绕该极限的随机误差经过缩放后的分布，并常给出正态近似。大数定律回答均值去向何处，中心极限定理回答它在途中如何波动
两个定理回答不同问题
对均值为μ的观测X_1,…,X_n，样本均值是X̄_n=n^(−1)Σ_iX_i
大数定律问X̄_n是否随n增大接近μ，中心极限定理问√n(X̄_n−μ)等缩放差异的极限分布
收敛到正确数值本身并不给出误差速度、形状、置信区间或有用的有限样本近似
弱大数定律使用依概率收敛
弱定律说明，对每个ε>0都有P(|X̄_n−μ|>ε)→0
它表示固定大小误差的概率消失，并非每条实现路径最终都会永远保持接近
对iid观测，有限期望足以支持广泛的弱定律，而简单方差证明通常额外假设有限方差
强大数定律是逐路径命题
强定律说明X̄_n→μ几乎必然成立，即在一个概率为零的集合之外所有结果都收敛
几乎必然收敛蕴含依概率收敛，但没有额外结构时反向并不成立
强定律仍是渐近命题，不会告诉特定决策容忍度需要多大的n
中心极限定理放大剩余误差
对具有正有限方差σ²的iid变量，√n(X̄_n−μ)/σ依分布收敛到N(0,1)
√n因子阻止缩小误差坍缩为零，从而揭示其非退化极限形状
即使经典中心极限定理失败，大数定律仍可能成立，例如均值存在但方差不存在的重尾情形
依赖需要的不只是一段长历史
平稳遍历过程可能满足大数定律，而中心极限定理还需要更严格地控制依赖与波动
金融时间序列的均值、方差、敞口、流动性与状态会变化，长记录未必像来自同一规律的重复抽样
来自同一危机群或过时状态的更多观测，所增加的有效信息可能远少于行数
分散化使用相关但独立的逻辑
在许多弱依赖持仓中，个别冲击的平均可能稳定，体现类似大数定律的效应
共同因子、尾部依赖、集中权重和相关违约不会仅因持有很多名称而消失
同样，当投资机会集本身变化时，长期平均收益不保证揭示永久预期收益
实务推断需要两类诊断
绘制运行均值和子样本估计，再检查依赖、结构断点、尾部矩与有效样本量
不要把均值收敛当作不确定性估计，应使用相关中心极限定理或重抽样方案支持的标准误
引用任一定理前，报告估计目标、收敛假设、期限、误差区间及对窗口与状态的敏感性
常见问题
大数定律与中心极限定理的主要区别是什么？
大数定律关注均值向目标收敛，中心极限定理关注目标周围偏差的缩放分布
大数定律需要正态数据吗？
不需要。在相应矩与依赖条件下，它适用于远超正态分布的范围
中心极限定理失败时大数定律还能成立吗？
可以。有限均值可让平均收敛，即使无限方差使经典正态中心极限定理失败
金融数据越多估计就一定越可靠吗？
不一定。依赖、状态变化、数据质量和不稳定目标会使有效信息远少于观测数
资料来源与延伸阅读
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