全部期权指南
无需等待即可模拟罕见收益阅读约15分钟
罕见事件与期权的Importance Sampling
理解似然比重加权如何保留期望、指数倾斜如何降低罕见事件方差，以及权重退化如何破坏期权模拟
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Importance Sampling在更常访问重要罕见结果的提议测度下模拟，再用似然比恢复原期望。合适的提议分布可大幅降低方差；糟糕的分布却会产生不稳定甚至方差无穷的权重
测度变换保留目标
对目标测度P、提议测度Q与收益h，导数有效时E_P[h(X)]=E_Q[h(X)dP/dQ(X)]
估计量对来自Q的X_i平均h(X_i)w(X_i)，其中w=dP/dQ
精确权重保持普通估计量无偏；只改抽样规律而不加权会改变估计目标
提议分布应让贡献变得常见
若深度虚值收益或违约事件几乎总为零，粗略模拟会浪费大部分路径
有效Q把概率移向|h|较大的状态，同时避免加权贡献过度不均
对非负被积函数，零方差提议密度正比于h(x)p(x)，但它需要未知期望本身
指数倾斜使用罕见事件几何
指数倾斜用exp(θX)重加权结果，再以矩生成函数归一化
大偏差或鞍点分析可选择θ，使罕见目标在Q下变成典型结果
路径、障碍、多损失模式或厚尾可能使固定倾斜失败，需要状态依赖、自适应或混合提议
金融有许多稀疏收益问题
可加速深度行权价期权、障碍、信用损失、暴露尾部与部分似然比Greek估计
每次改变漂移或冲击，都必须使用正确的全路径似然比，而非仅修正终值密度
贴现、风险中性动态、离散化、提前停止与路径监测必须匹配原定价目标
权重退化会抹去收益
若Q在h重要区域赋予的概率太小，少数巨大权重会主导估计
均值可能存在，但E_Q[(hw)²]无穷会使常规方差与中心极限置信区间失效
对数权重能防止数值下溢，却不能修复支撑缺失、无穷方差或遗漏另一重要模式
诊断能揭示但不能认证
跟踪权重直方图、最大份额、变异系数、有效样本量以及各状态与路径群贡献
归一化常数未知时可自归一化，但比例估计量在有限样本下一般有偏
若提议从未发现相关区域，即使有效样本量很高也不能证明准确
验证比较相同计算预算
以相同离散化和相近总成本独立重复粗略与重要抽样估计
检查样本方差、区间覆盖、偏差、罕见区域覆盖、提议敏感度与事件变稀时的稳定性
尽可能使用解析或变换基准，并保留具有宽支撑的防御性混合成分
常见问题
什么是Importance Sampling？
它是在另一测度下进行蒙特卡洛，再用似然比修正以保留原目标期望的方法
为什么适合罕见事件？
它更频繁生成收益或损失区域的路径，不必等待粗略模拟中的稀少贡献
估计量总是无偏吗？
精确加权的普通估计量在条件下无偏；自归一化版本在有限样本下一般不是
什么是权重退化？
少数极端权重承担几乎全部估计值，使方差与有效信息变得脆弱
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权