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无套利理论阅读约12分钟
资产定价基本定理详解
理解无套利、等价鞅测度与市场完备性如何在资产定价基本定理中相互连接
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
资产定价基本定理把无套利与一个等价概率测度的存在联系起来。在该测度下，适当贴现的可交易资产价格是鞅；如果这样的测度唯一，标准模型中的市场也是完备的，并能复制每个可接受的或有收益
套利比一笔好交易的要求更强
套利从零净投资开始，在模型中不可能亏损，并且至少在一个相关状态下产生正收益
高夏普比率、统计优势或看似便宜的期权仍有亏损可能，因此不自动构成套利
基本定理从这个精确定义出发。改变可接受策略、融资规则或约束，套利是否存在也可能改变
状态价格把未来收益转成现值
在有限单期市场中，为每个未来状态赋予非负现值权重，任何可复制收益都由收益与状态权重的加总定价
如果严格为正的权重满足所有交易价格，零成本组合就不能在不亏损的同时于某个状态获利
用货币市场账户归一化这些权重会得到概率，从而把定价泛函转化为鞅测度
等价性保留不可能事件
等价测度与现实测度对完全相同的事件赋予零概率，只改变相对权重，不创造或删除可能状态
如果收益只在新测度宣告不可能的状态为正，就无法支撑同样的套利论证，所以该条件很重要
新权重是估值工具，并不表示投资者真实相信重新分配后的概率
无套利对应鞅测度的存在
在标准有限模型中，不存在套利等价于存在一个让贴现可交易价格成为鞅的等价测度
在一般连续时间市场中，准确的无免费午餐条件与技术假设很重要，过度简化的表述可能不够强
经济含义保持不变：一致价格可以表示为适当定价测度下的条件贴现价值
完备性要求复制每一种请求权
如果模型内每个可接受的或有收益都能通过交易现有资产生成，市场就是完备的
在标准设定中，完备性对应等价鞅测度的唯一性，一个测度会为每个请求权给出一个无套利价值
如果多个测度都符合交易资产，不可复制收益在没有额外偏好、校准或准则时可能只有价格区间
二叉树与Black–Scholes展示两部分
一只股票和一只债券的二叉树有两个未来状态，通常能复制任意两状态收益，因此风险中性概率唯一
理想Black–Scholes扩散模型通过连续交易覆盖单一布朗风险源，从而得到熟悉的复制价格
加入不可交易波动率、跳跃、成本或交易约束后，即使仍有实用模型价格，严格完备性也可能消失
基本定理不会选择现实分布
无套利限制相对价格，但不确定预期收益、事件频率或哪个校准模型在经济上最佳
两个模型可能同样拟合当前价格，却在观测行权价和到期日之外或未来重新校准时产生不同动态
应把定价一致性与预测分开。有效定价测度能重现工具价格，却未必可靠预测现实频率
实际应用需要明确市场模型
说明交易资产、计价基准、信息、可接受策略、融资、抵押、成本以及真正可对冲的风险
检查报价是否违反静态边界，并检验所称复制能否承受离散交易、流动性与参数不确定性
基本定理是模型设计基础，并不能证明交易台可执行理想对冲，或所有观察报价都无套利
常见问题
资产定价基本定理说了什么？
在标准形式中，无套利对应等价鞅测度的存在，市场完备性对应该测度的唯一性
什么是等价鞅测度？
它与现实测度共享零概率事件，并让按所选计价基准适当贴现的可交易资产成为鞅
无套利意味着期权价格唯一吗？
只有请求权可复制或市场完备时才是如此。不完备市场中可能存在多个一致价格
风险中性测度是现实预测吗？
不是。它表示各状态如何被定价，并非直接估计状态在现实中的发生频率
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权