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逐状态定价12分钟
阿罗–德布鲁状态价格：每种未来状态值多少钱
解释阿罗–德布鲁证券与状态价格、它和真实概率的区别，以及如何从期权价格提取风险中性密度
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
阿罗–德布鲁状态价格，是只在某个指定未来状态发生时支付一单位的基础证券今天的价格。若每个状态都能交易或复制，复杂支付也能按各状态的支付额乘以状态价格后求和定价；状态价格包含风险价值，并不等于真实发生概率
基础证券只在一个状态支付
未来状态有限时，阿罗–德布鲁证券在指定状态支付1，在其他状态支付0
像向量基底一样，组合各种状态证券可以构造任意逐状态支付，这就是完备市场的核心表达
即使它不直接交易，只要现有资产能复制相同支付，无套利条件也能确定其价格
复杂支付可拆成状态之和
状态s的支付为X_s、状态价格为q_s时，当前价格是P = Σ q_s X_s
在所有状态都支付1的无风险债券等于全部状态证券之和，其价格因此为Σ q_s
这种分解把非线性合约的到期支付转成线性定价问题
状态价格不是真实概率
真实概率p_s与随机贴现因子m_s给出q_s = p_s m_s，同时包含可能性和该状态下资金的价值
坏状态即使发生概率低，也可能因保险价值较高而拥有较高状态价格
将q_s除以债券价格才得到风险中性概率；归一化前它是现值，不必加总为1
期权组合逼近狭窄的状态索取权
三个相近执行价构成的蝶式价差，会在狭窄的到期价格区间产生正支付
缩小执行价间距后，该支付越来越像只对某个终值附近有反应的状态索取权
所以同期限期权的执行价截面包含市场对未来价格状态赋予的相对权重
看涨期权曲率连接隐含密度
在理想欧式期权与光滑价格曲线下，对看涨价格按执行价求二阶导数可得贴现后的风险中性密度
Breeden–Litzenberger结论使用同一到期日的完整执行价截面，而不是单只期权
经贴现与期限归一化后得到的是定价密度，并非真实世界的频率预测
无套利约束曲线形状
看涨价格不能随执行价上升，并须对执行价保持凸性，否则垂直或蝶式价差可形成套利
凸性保障提取的状态价格非负，草率的插值即使穿过报价点也可能破坏它
不完备市场中，观测价格未必唯一决定不可交易支付的状态价格延伸
真实数据使反演变得困难
稀疏执行价、陈旧报价和宽买卖价差会让二阶导数严重放大微小噪声
美式提前行权、股息、利率、现货或期货基准、结算方式及时间不同也会扭曲结果
应披露原始数据、无套利修正、插值平滑、尾部外推与贴现输入，并检查重定价误差和敏感度
常见问题
什么是阿罗–德布鲁证券？
它是在指定未来状态支付1、在其他所有状态支付0的理论基础证券
状态价格等于风险中性概率吗？
不直接相等；将状态价格除以无风险债券价格并归一化为总和1，才得到风险中性概率
能从期权价格得到状态价格吗？
理想条件下，同一期限看涨价格曲线对执行价的曲率给出贴现后的风险中性密度
状态价格可以为负吗？
强无套利条件下不能；负估计通常提示数据噪声、报价矛盾或插值不当
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权