全部期权指南
PDE与期望的桥梁阅读约14分钟
Feynman–Kac公式与期权定价
理解Feynman–Kac如何连接线性定价PDE与贴现条件期望，包括生成元、现金流、数值方法和适用边界
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Feynman–Kac公式把适当线性抛物型偏微分方程的解，表示为扩散路径上的条件期望。在金融中，它把风险中性定价方程转换为逐路径贴现后，对终端收益与期间现金流求平均所得的价值
扩散生成元决定局部演化
令dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s，生成元为Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
生成元概括状态的光滑函数在瞬间的条件变化
它连接路径模型和微分方程，但不表示不可微随机路径本身具有普通导数
反向PDE从终端条件出发
考虑∂_t u + Lu - r u + f = 0，终端条件为u(T,x) = g(x)
g是终端收益，r是贴现或消减率，f是连续源项，其符号遵循所声明的PDE约定
状态扩散向前发展，但T时的值已知，所以估值从终端向当前反向求解
条件期望给出表示
在正则性与可积条件下，u(t,x)等于贴现g(X_T)加累计贴现f的条件期望
若D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv)，则表示为E[D_{t,T}g(X_T)+∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
对D_{t,s}u(s,X_s)应用Itô公式，其漂移变为源项的相反数，取期望即可得到等式
贴现是算子的一部分
常数短期利率给出e^{-r(T-t)}，但状态相关利率需要逐路径积分
期间股息、票息、成本或源项通过时间积分进入，而不是藏在终端收益中
改变PDE符号也会改变表示，应把算子、终端条件和时间方向作为一个整体
风险中性期权定价是一个特例
在有效定价测度下，贴现交易资产的动态决定L，衍生品价值满足相应定价PDE
没有期间支付的欧式请求权，其价格就是贴现终端收益的条件期望
Black–Scholes只是这座桥的一个实例，不是Feynman–Kac的定义，也不证明所有市场完备
PDE与Monte Carlo指向同一价值
有限差分在网格上求解反向方程，Monte Carlo则估计向前路径的期望
独立实现之间的一致，是检查符号、贴现、边界条件和采样误差的有力方法
低维曲面和边界适合PDE；状态众多或路径函数使网格昂贵时更适合模拟
定理有条件与边界
经典形式要求系数、增长、正则性、可积性与唯一性条件，黏性解等弱理论扩大适用范围
美式行权会产生障碍或变分不等式，非线性融资和控制问题不属于简单线性公式
跳跃把扩散PDE变为积分微分方程，路径依赖通常需要扩充状态或采用其他方法
常见问题
如何简单理解Feynman–Kac公式？
某类微分方程的值，可以通过平均相关随机过程的贴现结果来计算
为什么定价PDE要反向求解？
因为到期收益已经给定，要从已知终端值向今天传播价值
它等同于风险中性定价吗？
不等同。风险中性模型给出测度和生成元，Feynman–Kac连接其线性PDE与期望
标准公式能直接定价美式期权吗？
不能。提前行权把等式转化为障碍问题或最优停止表示
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权