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可预测补偿12分钟
Doob–Meyer分解：如何分开鞅创新与累计漂移
解释Doob–Meyer如何把次鞅分成不可预测创新与可预测累计，并介绍补偿子、信用强度和美式期权中的应用
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Doob–Meyer定理把适当次鞅X唯一分解为X = M + A，其中M是鞅，A是从零开始的可预测递增过程。它将条件均值为零的意外创新，与条件漂移或补偿的可预测累计分开，是强度模型与最优停止的重要基础
次鞅具有非负条件漂移
适应且可积的过程X若在s ≤ t时满足E[X_t | F_s] ≥ X_s，就是次鞅
其未来条件均值可上升，但单条路径仍可能下跌；性质针对条件期望
超鞅反转不等式，并写成鞅分量减去递增补偿项
递增过程必须可预测
适当右连续class-D次鞅满足X_t = M_t + A_t且A_0 = 0
M承载零条件均值创新，A可预测地递增并记录累计预期收益
可预测性区分发生前已知的补偿与另一个意外冲击来源
归一化使分解唯一
没有A_0 = 0，常数可在M和A之间任意移动
在定理的正则性与可预测条件下，两分量除不可区分版本外唯一
补偿子因此是过程和信息流的性质，不是任意拟合的平滑趋势
离散时间直接展示构造
对可积适应序列，定义ΔA_n = E[X_n - X_{n-1} | F_{n-1}]
累加这些可预测增量形成A，从X减去A就留下鞅差分
次鞅的每个ΔA_n非负；连续时间还需更深的极限和正则性论证
计数过程使用补偿子
对可预测强度λ的计数过程N，补偿子常为A_t = ∫_0^t λ_s ds
于是N_t - A_t是局部鞅，即实际跳跃减去可预测累计到达率
信用模型借此在选定信息流下分离违约意外与强度给出的预期到达
期权理论使用超鞅形式
美式支付的Snell包络是超鞅，在适当条件下可写成M - A
A记录维持对行权支付支配关系所消耗的价值，并连接提前行权结构
存在交易约束或非线性驱动时，可选分解与反射方程会扩展这一逻辑
估计模型不等于定理
明确测度、信息流、过程类别、路径正则性、可积性，以及它是真次鞅还是局部过程
估计的强度或漂移只是A的模型；统计平滑不能证明真实过程中的可预测性与唯一性
检查残差鞅矩、跳跃时点、状态稳定性、离散化及补偿子对信息集合的敏感度
常见问题
如何简单理解Doob–Meyer分解？
它把具有向上条件趋势的过程分为公平的意外变化和可预测累计增长
什么是补偿子？
它是从次鞅或计数过程中减去后留下鞅分量的可预测有限变差过程
递增过程为什么必须可预测？
否则意外变化可在两分量间任意移动，分解的唯一性和经济解释都会丢失
它如何用于信用风险？
从违约计数过程减去可预测累计强度，得到局部鞅并分开预期到达和实际冲击
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权