Carr–Madan Fourier 期权定价详解

Carr–Madan 从到期对数价格的风险中性特征函数，以及关于对数行权价的欧洲式看涨价格函数出发

它在 Fourier 空间重新排列相同的贴现期望，把类似卷积的计算转成乘积和常规积分

该方法不选择波动率、跳跃或风险溢价；这些要素由具体模型的特征函数提供

当对数行权价 k 趋向负无穷时，看涨接近类似远期的内在价值区域，因而不能在全部 k 上积分

对适当正数 α，把 C(k)乘以 e^{αk}，可在所需矩存在时让阻尼函数在两端衰减

阻尼参数是分析工具，不代表市场偏好，也不是需要校准的额外模型参数

在常见约定下，e^{αk}C(k)的 Fourier 变换使用 u−i(α+1)处的对数价格特征函数

变换后看涨收益的分母含 α 与频率 u；若 Fourier 符号或对数价格定义改变，符号也会变化

复位移要求 E[S_T^{α+1}]有限，因此任意增大 α 可能越出模型矩域

可按每个行权价分别积分，FFT 则能一次计算等间距的一组对数行权价

点数 N、频率间距 η 与对数行权价间距 λ 存在倒数关系，常写为 λη=2π/N

固定 N 时，更宽的行权价范围意味着更粗的间距，覆盖范围与分辨率不能独立选择

截断无限频率积分会产生尾部误差，离散化则产生求积误差

离散变换隐含的周期延拓造成混叠，使用网格外行权价还会加入插值误差

Simpson 权重有时能改善求积，却不能修复范围不足、无效矩或不稳定的特征函数

Alpha 要足够大以阻尼收益，同时足够小，使位移后的特征函数存在且保持数值稳定

合适取值取决于期限、模型参数、尾部行为和变换约定，不存在保证通用的 alpha

应测试一段可容许 alpha，并要求价格在目标容差内一致，而不是优化单一输出

先恢复 Black–Scholes 价格，再检查看跌看涨平价、行权价单调性、凸性、价格边界与鞅条件

分别增加 N、积分范围与精度，以识别收敛，而不是一次改变所有控制项

选取部分行权价和直接求积及另一种定价方法比较；理解误差预算后，速度才有意义