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哪些Gaussian路径平移可行阅读约15分钟
金融中的Cameron–Martin定理详解
理解哪些平移保留Wiener测度等价性、Cameron–Martin空间包含什么，以及它与Girsanov和金融的联系
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Cameron–Martin定理确定了哪些确定性路径平移能让平移后的Wiener测度仍与原测度等价。可行平移组成一个由有限能量路径构成的Hilbert空间；超出该空间的平移通常会产生与原测度互相奇异的测度
有限维平移较为简单
非退化Gaussian向量平移任何固定有限向量后，仍具有与原Gaussian分布等价的密度
似然比是一个包含平移量与观测向量的指数表达式
Wiener测度位于无限维路径空间，并非每一种确定性路径平移都无害
有限能量路径构成可行空间
对[0,T]上的布朗运动，Cameron–Martin路径h从零开始且绝对连续
其导数h′必须平方可积，使能量∫₀ᵀ|h′(t)|²dt有限
这些路径组成Hilbert空间，但典型布朗样本路径本身几乎必然不在其中
可行平移改变密度但保留零事件
若h属于Cameron–Martin空间，W与W+h的分布相互绝对连续
其Radon–Nikodym密度含h′对W的指数线性项，以及负的半能量修正
等价表示两种分布对哪些事件概率为零意见一致，并不表示所有事件概率相同
空间外的平移产生奇异性
若确定性平移不具备所需有限能量，平移后与原Wiener测度通常相互奇异
每个测度都会集中在被另一测度视为零集的集合上，这是有限维Gaussian中没有的现象
这条明确边界才是定理的核心，而不仅是可行情况下的似然比公式
Girsanov扩展了路径平移思想
Cameron–Martin处理确定性平移，Girsanov则允许满足条件的适应性随机漂移变化
两者都使用指数密度与平方可积思想，但Girsanov还要求密度过程在明确条件下成为真鞅
把所有漂移变化称为Cameron–Martin，会混淆固定几何平移与随机测度变换
金融利用定理背后的路径几何
风险中性漂移变化、似然比敏感度、重要性抽样和Gaussian利率模型都使用相关路径重加权
选择平移让罕见支付区域更常出现，再用密度修正样本均值，可提高模拟效率
Malliavin方法也以Cameron–Martin方向定义路径依赖泛函的导数和Greeks估计量
测度等价不保证模型优良
定理讨论Gaussian测度几何，并不证明市场完备、无套利或现实价格服从布朗动态
数学上有效的平移仍可能造成不稳定权重，或忽略跳跃、随机波动率与交易摩擦
计算前应检查路径空间、协方差、密度符号、可积性以及估计量方差
常见问题
什么是Cameron–Martin空间？
对布朗运动，它是从零开始、绝对连续且导数平方可积的路径所组成的Hilbert空间
布朗路径属于Cameron–Martin空间吗？
几乎必然不属于，典型布朗路径过于粗糙，而该空间描述的是可行的平移方向
Cameron–Martin与Girsanov有何不同？
前者使用确定性有限能量路径平移，后者在密度条件成立时允许适应性随机漂移变化
该定理为何与金融相关？
它为Gaussian路径重加权、敏感度分析、重要性抽样与测度变换直觉提供几何基础
资料来源与延伸阅读
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