仿射过程与 Riccati 方程详解

对 Markov 状态 X，目标形式为 E[e^{u·X_T}|X_t=x]=exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x)，其中 τ=T−t

这里的仿射是指条件变换的对数等于常数加当前状态的线性函数

样本路径仍可非线性、异方差并带跳跃；平方根方差与跳跃强度都能进入这一类别

常见标准状态把方差、强度等非负坐标与对数价格等实数坐标组合起来

漂移、扩散与跳跃测度必须满足可容许条件，使过程留在状态空间并定义有效的 Markov 法则

公式看似仿射并不足够；负方差、爆炸性跳跃活动或存在条件失败都可能使设定失效

同一变换可编码特征函数、Laplace 变换、矩、债券价格以及贴现收益的组成部分

无需恢复完整转移密度，只要在定价公式要求的复数参数处计算 φ 与 ψ

随机模型提供变换，逆变换或收益变换再把它转成价格，这种分工带来计算优势

把指数仿射假设代入生成元方程后，常数项归入 φ，关于状态的线性项归入 ψ

由此得到 ∂τφ=F(ψ)、∂τψ=R(ψ) 等方程组，初值为 φ(0,u)=0、ψ(0,u)=u

扩散项使 R 出现二次项，跳跃项加入变换积分，因此称为广义 Riccati 方程

CIR 使用非负平方根状态，Heston 把对数价格与平方根方差结合，同时保留联合变换的仿射结构

仿射利率与信用模型可让短期利率、违约强度或跳跃补偿项成为状态的仿射函数

共享变换结构不代表模型等价；它们的状态限制、尾部行为与经济含义仍然不同

实频率上的特征函数总是存在，但复数参数所需的指数矩可能只在有限区域内存在

Riccati 解在有限期限爆炸可能意味着某个矩失效，而不一定表示底层概率过程本身终止

闭式表达还须连续选择平方根与对数的分支；代数等价形式在浮点运算中可能表现不同

定价前应检查初值、半群关系、共轭对称、鞅条件以及已知极限情形

在期限与参数网格上监控 Riccati 求解器、变换定义域、分支连续性和容差敏感度

仿射可计算性只是拆分难题，并不会消除校准风险、数值误差或模型误设