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把特征函数变成余弦级数阅读时间 15 分钟
COS 方法期权定价详解
理解 COS 方法如何组合截断密度、Fourier 余弦系数、收益系数与收敛控制来计算期权价格
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
COS 方法先把对数价格分布截到有限区间，再用余弦级数展开密度，并从特征函数取得级数系数；把收益函数的余弦系数与之相乘，就能高效得到稳定且可检验的贴现期权价格近似
COS 是 Fourier 级数定价法
假设到期对数状态 X 的特征函数已知，期权到期支付 v(X)
在一致的定价测度下贴现后，目标价值是 v(x)对 X 条件密度的积分
COS 不模拟路径，也不反向求解价格网格，而是用有限余弦级数近似该积分
首先截断无限状态范围
对数价格通常位于整条实轴，因此选择包含大部分经济相关概率质量的有限区间 [a,b]
[a,b]之外的概率在省略任何余弦项之前，就已产生状态域截断误差
区间太窄会漏掉尾部；不必要地过宽则需要更多项来解析相同局部特征
特征函数提供密度系数
在 [a,b]上，把密度展开为非负整数 k 对应的 cos(kπ(x−a)/(b−a))
余弦系数由 Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}近似，无需显式恢复完整密度
常见带撇号求和对零频项使用一半权重，这个细小约定会直接影响价格水平
收益系数完成价格公式
每个密度系数都乘以 v(x)与相应余弦基函数在 [a,b]上的积分系数
欧洲式看涨和看跌的收益系数有解析表达，其他收益可能需要稳定数值积分
把模型系数与收益系数分开后，多个行权价或合约可复用大部分变换计算
快速收敛具有条件
若密度光滑且余弦系数快速衰减，随项数 N 增加往往能取得很快甚至指数式收敛
短期限、尖锐密度、原子质量、厚尾或不连续收益会减慢收敛，并在非光滑点附近产生振铃
因此 COS 的速度取决于正则性，并非对每个模型和收益都保证固定精度
区间选择属于误差预算
当累积量存在且约定适用时，常用 c₁±L√(c₂+√c₄)等累积量经验式
尺度 L 并不通用；若高阶累积量不稳定或不存在，熟悉的区间规则也可能误导
尾部概率界、更宽的参考区间以及多个 [a,b]下的价格稳定性，证据强于单一经验设置
验证要分开区间误差与级数误差
保持 N 足够大并扩大 [a,b]以诊断状态域截断，再在稳定区间上增加 N 检验级数收敛
检查 φ(0)、零项半权重、贴现、收益系数、平价、价格边界、单调性与凸性
在把 COS 放入校准循环前，应把部分价格和直接 Fourier 求积或独立方法比较
常见问题
什么是 COS 方法？
它用特征函数给出的 Fourier 余弦系数近似到期密度并计算期权价格
COS 与 FFT 定价相同吗？
不同。两者都用变换，但 COS 在选定状态区间计算余弦展开，不要求相同的联动 FFT 行权价网格
如何选择区间 [a,b]？
累积量经验式很常见，但没有通用宽度，应结合尾部信息与多区间价格稳定性验证
COS 定价为何可能不准确？
区间太窄、项数不足、密度不够光滑、收益不连续、系数错误或变换输入无效都可能造成误差
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
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