Heston模型與隨機波動率詳解

Black-Scholes在契約期間使用一個固定波動率。市場選擇權卻在不同履約價、期間與時點反映不同波動率

隨機波動率模型把變異數當作另一個隨機狀態變數。明日不確定性同時取決於資產價格與路徑到達的變異數

這增加了現實動態，也帶來不能直接交易的風險來源。完整定價需要假設變異數風險如何得到補償

資產擴散項以√vₜ作瞬時波動率。選定定價測度下，變異數遵循 dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ

目前變異數v₀是起點，Theta是長期變異數，Kappa是均值回歸速度，Xi是變異數的波動率

平方根項按目前狀態縮放變異數衝擊。參數採用變異數單位，不能把Theta直接視為波動率百分比

變異數高於Theta時，漂移向下拉；低於Theta時則向上拉。Kappa控制回歸速度

快速回歸讓目前衝擊較多影響短期限，緩慢回歸則把影響分配到更遠期限

Kappa與Theta可能在校準時互相抵銷。曲面配適良好不表示每個參數都得到精確識別

現貨與變異數的布朗衝擊以Rho相關。負Rho代表負價格衝擊常與正變異數衝擊一同出現

這種槓桿式管道有助形成股票下行偏斜：現貨下跌與變異數上升共同提高下行選擇權價值

Rho不是報酬與畫面IV序列的歷史相關性，而是特定測度與校準下的瞬時模型參數

Xi控制變異數的隨機程度。較高Xi擴大未來變異數分配，並可能增強跨履約價與期限的曲率

其效果與Rho、Kappa、Theta和目前變異數互動。一個參數不能直接對應曲面的一個可見特徵

Feller條件 2κθ ≥ ξ²是理想過程中變異數嚴格為正的充分條件，但實作與離散化仍然重要

校準在選定選擇權網格尋找參數，使模型與市場價格或IV誤差最小

目標權重、買賣價差、期限、履約價、邊界、最佳化器、利率、股息與數值積分都會改變結果

多組參數可能同樣配適良好。應報告價格誤差與穩定性，並以未參與配適的契約測試

基本Heston使用連續路徑、單一變異數因子與固定參數。真實市場會跳躍、轉換狀態、經歷事件並以不同方式移動偏斜

深度遠端與超短期限可能暴露遺漏的跳躍，長期限可能顯示不穩定回歸或需要多因子

應把它視為一致的情境工具，而不是真實過程證明。還要壓力測試跳躍、參數、曲面、流動性與模型外避險誤差