所有選擇權指南
停止公平過程12分鐘
選擇停止定理：鞅在何時停止仍然公平
解釋停止鞅後期望保持不變的條件、倍增策略為何失敗，以及停止時間在障礙與美式期權定價中的作用
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
選擇停止定理給出在停止時間τ觀察鞅M仍保持E[M_τ] = E[M_0]等期望關係的條件。它並不表示每個適應性離場規則都無害；有界性、一致可積性或其他充分條件十分重要，缺少這些條件便可能得出錯誤結論
停止時間只可使用目前資訊
隨機時間τ是停止時間，要求事件{τ ≤ t}能由時點t已有資訊F_t判斷
交易者可在觸及障礙後停止，但不可使用明日價格再聲稱今日已知道τ
定義防止前視，卻不自動保證無界停止規則與期望極限可以交換
停止會產生另一個適應過程
停止過程M_{t∧τ}在τ前跟隨M，之後維持停止值
對鞅和停止時間，在每個固定t的一般可積條件下，停止過程仍是鞅
從有限t過渡到隨機終值M_τ，需要對極限施加額外控制
多種充分條件支持定理
常見版本假設τ有界、M有界，或停止值族一致可積
離散時間可使用有限E[τ]和適當受限增量，但準確假設因定理版本而異
對停止時間σ ≤ τ，條件成立時有E[M_τ | F_σ] = M_σ
倍增策略暴露缺失條件
公平擲硬幣遊戲中，每次輸後加倍下注，似乎可在首次獲勝時保證一單位利潤
但停止時間無界，中間損失和所需信用無限增加，停止值族亦不一致可積
表面無風險收益不與定理矛盾，而是違反允許取極限的條件
障礙機率使用受控停止
隨機漫步在兩個有限障礙之一停止時，停止值有界，可應用選擇停止
把停止期望寫成兩個邊界值及其到達機率，可以求先觸及上界的機率
越界、跳躍、折現、漂移和無限期限須明確納入，不可直接套用最簡單公式
美式期權把行使變成停止問題
美式索償權持有人從允許的資訊集合選擇行使停止時間
定價測度下，其價值在適當條件中是允許停止時間的折現期望支付上確界
Snell包絡是支配支付過程的最小超鞅，並在存在時識別最適行使區域
實務使用需要停止審核
列明資訊流、測度、停止過程、期限、支付、允許停止時間和使用的定理版本
把停止期望換成初始值前，檢查有界性、一致可積性或準確替代條件
模擬中應檢查前視、截斷偏差、期限內未停止路徑、越界、折現和現金流一致性
常見問題
如何簡單理解選擇停止定理？
在充分控制下，選擇何時停止一個公平鞅不會改變停止值的期望
每種交易離場規則都保持預期利潤嗎？
不是；規則須是停止時間，而且過程與規則還須符合定理的可積條件
倍增策略為何不能戰勝公平遊戲？
它需要無限信用並可能累積無界損失，因此缺少定理要求的極限控制
它如何用於美式期權？
把行使建模為停止時間，並在定價測度下優化允許時點的折現期望支付
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權