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選擇權定價中的鞅詳解
理解條件期望、折現可交易價格為何在定價測度下成為鞅，以及這個概念不代表什麼
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
鞅是在指定資訊和機率測度下，未來值的條件期望等於目前值的隨機過程。在選擇權定價中，為消除融資成長而適當折現的可交易資產價格會在風險中立測度下具有這種性質，但實現路徑仍可大幅波動
條件期望是定義核心
設 Mₜ 為隨機過程、Fₜ 為 t時刻可用資訊，對每個較晚時刻 u，鞅滿足 E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ 與可積條件
條件二字非常重要。預測使用目前已知的全部資訊，而不是只有長期無條件平均值
定義總要指定機率測度和資訊流。同一過程在一個測度下可能是鞅，在另一測度下可能不是
鞅可以波動而且仍有風險
公平遊戲不是下一個數值等於目前數值，而是正負條件變化在期望上互相平衡
只要所需期望存在，大幅跳躍、寬廣分配和路徑依賴不確定性都可與鞅性質共存
鞅也不表示增量獨立。只要符合條件平均限制，過程仍可保留依賴關係
折現消除融資成長
交易資產通常包含持有成本、股利或融資效果，因此未折現價格在定價測度下不一定是鞅
將總報酬價值除以貨幣市場帳戶等計價基準。適當無套利假設下，折現過程成為鞅
更換計價基準會改變相關測度和哪些相對價格是鞅，價值單位本身就是命題的一部分
選擇權價值變成條件期望
對 T時刻可複製報酬 H，今天的折現價值等於定價測度下折現報酬的條件期望
這不是按歷史頻率取平均。選擇該測度是為了讓折現可交易價格符合無套利
公式濃縮動態複製論證，並未消除對交易、模型狀態、股利與融資的假設
二項樹直接展示運作方式
選擇上漲與下跌定價權重，讓折現標的的下一期望值等於目前折現價值
將相同權重用於選擇權下一節點價值，再折現向後遞推，重複後得到根節點價格
樹中的風險中立機率是鞅權重，並非表示現實股票的預期超額報酬為零
次鞅與上鞅表達不等式
次鞅的未來條件期望至少等於目前值，上鞅的未來條件期望最多等於目前值
在限制、消費、美式履約和超級避險中，精確等式可能由單邊界取代，這些概念便會出現
名稱本身不預測可交易利潤，測度、折現、可接受性和可積性仍決定解讀
可選停止需要符合條件
人們容易以為任何停止公平遊戲的規則都保持期望，但可選停止定理要求有界性、可積性等條件
不斷將下注加倍的策略可能違反可接受性或需要無限資本，不能從鞅定義創造實際套利
美式選擇權停止問題使用嚴格定義的履約時刻與價值過程，並不承諾擇時無關緊要
模型與真實市場不是同一對象
觀察價格包含價差、過時報價、限制與離散交易。模型鞅只是在明確理想化條件內的陳述
嚴格局部鞅、泡沫、無界報酬和測度存在問題說明技術條件並非總可省略
應用公式前要說明過程、測度、計價基準、資訊流、報酬可積性與可用交易策略
常見問題
簡單來說什麼是鞅？
給定目前資訊後，其未來值在指定機率測度下的期望等於目前值
鞅價格會保持不變嗎？
不會。實現路徑可劇烈波動，受限制的只是未來值的條件平均
鞅定價為何要折現資產價格？
按計價基準折現可消除模型融資成長，讓相對交易價值能夠符合鞅條件
現實股價是鞅嗎？
脫離測度不能回答。必須同時說明價格過程、股利、計價基準、資訊和機率測度
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權