Lévy過程與跳躍補償量詳解

對Lévy過程X，不相交區間的增量獨立，且X_{t+h}-X_t的分佈只取決於h

隨機連續性在機率意義下排除固定不連續，càdlàg版本則給出右連續且有左極限的路徑

增量分佈具有時間齊次性，這是便於分析卻必須用資料檢驗的強假設

指定截斷約定後，三元組(b, σ², ν)分別表示漂移、布朗方差與Lévy跳躍測度

ν記錄不同跳躍大小的預期到達強度，並須滿足∫(1∧x²)ν(dx) < ∞

改變截斷函數可能改變所報告的b，但一致轉換所有項不會改變過程分佈

特徵函數滿足E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u))，其中特徵指數ψ由三元組決定

平穩獨立增量把時間卷積變為乘法，使特徵指數隨時間線性縮放

這種結構支援Fourier期權方法，但數值反演仍需控制阻尼、網格與截斷

分解把X寫成漂移、布朗成分、大跳躍和補償後的小跳躍

超過任何固定門檻的大跳躍到達強度有限，但有限時間內可能有無限多個小跳躍

無限活動與無限變差是不同性質，應檢查ν的積分條件而不能互相推斷

若N(dt,dx)計算大小為x的跳躍，Lévy過程的補償測度是dtν(dx)

Ñ(dt,dx)=N(dt,dx)-dtν(dx)扣除可預測到達量，使適當的意外跳躍積分成為局部鞅

原始跳躍和與補償積分具有不同漂移，若不調整有限變差項便互換，會改變模型

資產模型常用S_t = S_0e^{X_t}或隨機指數，但正值性本身不會使折現價格成為鞅

在所選定價測度下，特徵指數必須滿足相關指數矩和鞅條件

跳躍產生無法複製的風險，等價鞅測度可能不唯一，因此還需額外價格選擇判準

Lévy跳躍可比純擴散更好地擬合偏度、厚尾和短期期權微笑

若不擴展模型，平穩獨立增量會排除波動率聚集、槓桿動態和時變跳躍強度

檢查矩存在、微小跳躍截斷、鞅修正、校準穩定性、尾部外推與樣本外對沖誤差