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無套利理論約12分鐘
資產定價基本定理詳解
理解無套利、等價鞅測度與市場完備性如何在資產定價基本定理中彼此連結
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
資產定價基本定理將無套利與等價機率測度的存在連結起來。在該測度下，適當折現的可交易資產價格是鞅；若這種測度只有一個，標準模型中的市場也是完備的，並可複製每項可接受的或有報酬
套利比一筆好交易的要求更強
套利從零淨投資開始，在模型內不可能虧損，並且至少在一個相關狀態產生正報酬
高夏普比率、統計優勢或看似便宜的選擇權仍有虧損可能，因此不會自動構成套利
基本定理從這個精確定義出發。改變可接受策略、融資規則或限制，套利是否存在也可能改變
狀態價格把未來報酬轉成現值
在有限單期市場，為每個未來狀態賦予非負現值權重，可複製報酬便由報酬與狀態權重加總定價
若嚴格為正的權重符合所有交易價格，零成本投資組合就不能在不虧損下於某個狀態獲利
以貨幣市場帳戶將權重標準化會得到機率，從而把定價泛函轉換成鞅測度
等價性保留不可能事件
等價測度與現實測度對完全相同的事件賦予零機率，只改變相對權重，不創造或刪除可能狀態
若報酬只在新測度宣告不可能的狀態為正，就無法支持相同套利論證，因此這項條件很重要
新權重是評價工具，並不表示投資人真的相信重新分配後的機率
無套利對應鞅測度的存在
在標準有限模型，沒有套利等價於存在一個讓折現可交易價格成為鞅的等價測度
在一般連續時間市場，準確的無免費午餐條件和技術假設很重要，過度簡化的說法可能不足
經濟含義不變：一致價格可表示成適當定價測度下的條件折現價值
完備性要求複製每一種請求權
若模型內每個可接受的或有報酬都能透過交易現有資產產生，市場就是完備的
在標準設定中，完備性對應等價鞅測度的唯一性，一個測度為每項請求權給出一個無套利價值
若多個測度都符合交易資產，不可複製報酬在沒有額外準則時可能只存在一個價格範圍
二項樹與Black–Scholes展示兩部分
一檔股票與一檔債券的二項樹有兩個未來狀態，通常可複製任意兩狀態報酬，因此風險中立機率唯一
理想Black–Scholes擴散模型以連續交易涵蓋單一布朗風險來源，因而得到熟悉的複製價格
加入不可交易波動率、跳躍、成本或交易限制後，即使仍有實用模型價格，嚴格完備性也可能消失
基本定理不會選擇現實分配
無套利限制相對價格，但不決定預期報酬、事件頻率或哪個校準模型在經濟上最佳
兩個模型可能同樣配合目前價格，卻在觀察履約價與到期日以外或未來重新校準時產生不同動態
應將定價一致性與預測分開。有效定價測度可重現工具價格，但未必可靠預測現實頻率
實際應用要說明市場模型
說明交易資產、計價基準、資訊、可接受策略、融資、擔保、成本和真正可避險的風險
檢查報價是否違反靜態邊界，並測試所稱複製能否承受離散交易、流動性和參數不確定性
基本定理是模型設計基礎，不能證明交易台可執行理想避險或所有觀察報價均無套利
常見問題
資產定價基本定理說明什麼？
標準形式下，無套利對應等價鞅測度的存在，市場完備性對應該測度的唯一性
什麼是等價鞅測度？
它與現實測度共享零機率事件，並讓按所選計價基準折現的可交易資產成為鞅
無套利表示選擇權價格唯一嗎？
只有請求權可複製或市場完備時才是。不完備市場可能存在多個一致價格
風險中立測度是現實預測嗎？
不是。它表示各狀態如何定價，並非直接估計狀態在現實中的發生頻率
資料來源與延伸閱讀
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