所有選擇權指南
可複製性約12分鐘
完備市場與不完備市場詳解
理解市場完備性的含義、未涵蓋風險為何造成價格不唯一，以及不完備市場避險與精確複製的差異
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
完備市場能在模型內以交易資產複製每項可接受或有報酬，因此鞅測度與無套利價格唯一。不完備市場留下交易工具未能涵蓋的風險，需要額外評價準則選擇價格並管理無法消除的剩餘避險風險
完備性是市場模型的屬性
完備性詢問每項可接受到期報酬能否用指定交易資產的自我融資策略產生
答案取決於模型狀態空間、資訊、期限、交易頻率、限制與可接受性規則
沒有這些座標，不能簡單說真實交易所完備或不完備；模型對一組報酬完備，對另一組可能不足
風險來源必須由交易暴露涵蓋
在有限單期模型，需要足夠線性獨立的交易報酬向量張成所有狀態
在擴散模型，波動率負荷矩陣與鞅表示性質決定布朗風險能否複製
只計算資產數量並不足夠，重複資產不增加跨度，而限制或奇異暴露會減少有效避險方向
完備市場有唯一的定價測度
在標準無套利條件下，完備性對應等價鞅測度的唯一性
每項可接受請求權都有複製策略，其成本給出符合無套利的唯一價格
唯一性相對於模型成立；改變動態、可用工具或交易規則可能改變測度與避險
不完備市場允許多個一致測度
部分風險不可交易時，多個鞅測度可正確評價現有資產，卻對新請求權賦予不同價值
單靠無套利可能得到價格上下限而非單一數字，超級避險通常給出保守上限成本
觀察市場報價可為已交易請求權選擇價值，但不會讓所有未交易暴露變得可複製
額外準則選擇一個實務價格
常見選擇包括效用無差異、最小鞅或熵測度、變異數最優避險、優良交易邊界與校準風險溢酬
每種準則回答不同經濟問題，可能依賴風險厭惡、稟賦、部位規模或統計假設
鞅測度不唯一時，簡單稱結果為風險中立價格會隱藏實際選擇準則
精確複製變成風險最小化避險
不完備市場避險將請求權分成可交易成分與正交或其他形式的剩餘風險成分
策略可最小化變異數、預期損失、局部風險或其他目標，但到期避險誤差通常仍存在
除初始價格外，也應報告誤差分配、尾部、再平衡規則、成本與對現實模型的敏感度
不完備性的來源十分常見
沒有可交易波動率資產的隨機波動率、跳躍、不可交易收入、流動性衝擊和離散交易都留下未涵蓋風險
交易成本與部位限制可讓無摩擦下完備的模型在實際操作中不完備
加入選擇權能改善部分風險涵蓋，但有限履約價與到期日不會自動完備無限狀態空間
驗證要區分價格配合與避險品質
先驗證所選測度能重現交易工具，再測試避險能否在樣本外符合所聲明的最佳化目標
比較不同測度選擇，壓力測試剩餘因素，並區分校準誤差與結構性不可避險風險
給出單一價值前，記錄請求權範圍、工具、準則、現實與定價模型、限制及價格邊界
常見問題
什麼是完備市場？
每項可接受或有報酬都能以現有資產的自我融資策略複製的市場模型
不完備市場價格為何不唯一？
多個鞅測度可配合交易資產，同時對這些資產未涵蓋的風險賦予不同價值
Black–Scholes是完備市場模型嗎？
其理想單因子擴散在假設內完備，但跳躍、隨機波動率、成本或限制會破壞完備性
不完備市場如何為請求權定價？
在無套利邊界上加入效用、最小熵、變異數最小化或校準等明確準則
資料來源與延伸閱讀
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