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波动率数学阅读约 9 分钟
方差与波动率：平方根为何改变定价
了解方差为何是波动率的平方、两者如何随时间汇总，以及VIX与方差互换为何不能用简单平均比较
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
方差是收益率相对均值的平方偏差之平均，波动率是其通常经过年化的平方根。20%波动率对应0.20²，即0.04方差，因此两者的平均、时间缩放与交易敞口并不等价，不能混用单位
平方会改变单位与大波动权重
方差使用收益率平方单位。平方消除正负号，并让大幅波动获得更高权重。标准差再取平方根，回到原始收益率单位
市场通常把年化标准差称为波动率。10%与30%波动率对应0.01与0.09方差；波动率是三倍，方差却是九倍
方差更容易跨时间汇总
在收益独立同分布的假设下，方差随时间相加，因此波动率随时间平方根变化，而不能把日波动率直接乘252
自相关、市场状态变化、日内季节性、跳跃和重叠窗口会削弱该近似。应说明使用交易日还是自然日，以及收益采样间隔
平均波动率不等于平均方差的平方根
平方根是非线性的。多个波动率的简单平均通常不同于平均方差的平方根，这是詹森不等式的直接结果
10%与30%的简单平均是20%。平均方差的平方根为√((0.01 + 0.09) ÷ 2)，约22.36%。平均方式会改变比较与敞口
组合还需要协方差
组合方差结合每项资产的方差及资产间协方差。两项高波动资产若不同步，组合波动率可能较低；压力时期相关性也可能上升
直接加权个别波动率会忽略共同变动。应先计算方差—协方差结构，再取平方根
期权显示波动率，也可复制方差
期权链以易读的IV百分比显示价格，但一组期权可复制方差型支付，Cboe波动率指数数学也采用与方差互换复制有关的权重
因此相同1个百分点IV变化在不同起点的经济价值不同。30%升至31%的方差变化大于10%升至11%
VIX汇总期权后才取平方根
VIX方法把合格SPX期权报价汇总为30日期望方差，插值至目标期限，再以年化百分比显示其平方根
它不是屏幕上各合约IV的简单平均。偏斜与执行价权重会影响结果，所以ATM IV相似的曲面也可能产生不同VIX
保持单位与实现规则一致
方差互换对实现方差线性支付，波动率互换对其平方根支付。平方根的凸性会改变公平执行价与对冲
记录简单或对数收益、采样频率、年化、均值、节假日与缺失值处理。不能直接用方差0.04减去波动率20%
常见问题
方差与波动率有什么区别？
方差平均收益率的平方偏差；波动率是其平方根，通常以年化百分比显示并回到收益率单位
波动率20%时方差是多少？
在年化小数单位中为0.20² = 0.04。方差使用平方单位，应明确口径而不是简单称为4%
波动率为何按时间平方根缩放？
若收益增量独立且方差稳定，方差随时间相加，其平方根便按√时间增长；真实市场可能违反这些假设
VIX是SPX隐含波动率的平均吗？
不是。它使用指定SPX期权报价和执行价权重估算固定期限方差，再转换成年化波动率指数
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权