Heston模型與隨機波幅詳解

Black-Scholes在合約期內使用一個固定波幅。市場期權卻在不同行使價、期限與時點反映不同波幅

隨機波幅模型把方差當作另一個隨機狀態變數。明日不確定性同時取決於資產價格與路徑到達的方差

這增加了現實動態，也帶來不能直接交易的風險來源。完整定價需要假設方差風險如何得到補償

資產擴散項以√vₜ作瞬時波幅。選定定價測度下，方差遵循 dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ

目前方差v₀是起點，Theta是長期方差，Kappa是均值回歸速度，Xi是方差的波幅

平方根項按目前狀態縮放方差衝擊。參數採用方差單位，不能把Theta直接視為波幅百分比

方差高於Theta時，漂移向下拉；低於Theta時則向上拉。Kappa控制回歸速度

快速回歸令目前衝擊較多影響短期限，緩慢回歸則把影響分配到更遠期限

Kappa與Theta可能在校準時互相抵銷。曲面配適良好不表示每個參數都得到精確識別

現貨與方差的布朗衝擊以Rho相關。負Rho代表負價格衝擊常與正方差衝擊一同出現

這種槓桿式渠道有助形成股票下行偏斜：現貨下跌與方差上升共同提高下行期權價值

Rho不是回報與螢幕IV序列的歷史相關性，而是特定測度與校準下的瞬時模型參數

Xi控制方差的隨機程度。較高Xi擴闊未來方差分佈，並可能增強跨行使價與期限的曲率

其效果與Rho、Kappa、Theta和目前方差互動。一個參數不能直接對應曲面的一個可見特徵

Feller條件 2κθ ≥ ξ²是理想過程中方差嚴格為正的充分條件，但實作與離散化仍然重要

校準在選定期權網格尋找參數，使模型與市場價格或IV誤差最小

目標權重、買賣差價、期限、行使價、邊界、優化器、利率、股息與數值積分都會改變結果

多組參數可能同樣配適良好。應報告價格誤差與穩定性，並以未參與配適的合約測試

基本Heston使用連續路徑、單一方差因子與固定參數。真實市場會跳躍、轉換狀態、經歷事件並以不同方式移動偏斜

極端遠端與超短期限可能暴露遺漏的跳躍，長期限可能顯示不穩定回歸或需要多因子

應把它視為一致的情景工具，而不是實際過程證明。還要壓力測試跳躍、參數、曲面、流動性與模型外對沖誤差