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平方根方差能否觸及零閱讀約15分鐘
CIR與Heston模型的Feller條件
理解Feller條件、零邊界行為、非負性與嚴格正值的分別，以及CIR和Heston模型的數值影響
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
對dX_t = κ(θ-X_t)dt + σ√X_t dW_t，Feller條件2κθ ≥ σ²令正值起點不能到達零。若條件失敗，準確CIR過程仍保持非負但可以觸及零，這與離散計算產生負值是兩個不同問題
平方根擴散連接狀態與不確定性
CIR過程對短期利率或方差等非負狀態使用漂移κ(θ-X_t)與擴散σ√X_t
Kappa控制均值回歸速度，theta控制長期水平，sigma控制狀態波幅
當X接近零，隨機衝擊縮小，正漂移κθ則把過程推離邊界
Feller不等式比較漂移與雜訊
假設參數與初始狀態為正，標準邊界條件是2κθ ≥ σ²
它比較零點向內漂移與擴散強度，而不是檢驗校準是否切合期權價格
部分文獻採用Feller指數2κθ/σ²或維數4κθ/σ²，因此要核對閾值規定
符合條件帶來嚴格正值
若2κθ ≥ σ²且X_0 > 0，理想連續時間CIR過程不能到達零
狀態在每個有限時點保持嚴格正值，避免接觸退化的平方根邊界
嚴格正值比非負性更強，不應簡化成模型穩定這類含糊說法
條件失敗容許接觸而非負值
若0 < 2κθ < σ²，零可以到達，但標準CIR解仍然非負
Theta為正時，零邊界會即時反射，而不是成為永久吸收狀態
因此違反Feller條件本身不會令隨機微分方程失效或變成負數
Heston把同一檢驗用於方差
Heston方差符合dv_t = κ(θ-v_t)dt + ξ√v_t dW_t，以vol-of-vol ξ取代sigma
常見條件是2κθ ≥ ξ²，失敗會容許方差觸及零並增加邊界敏感度
違反條件的Heston校準仍可使用，但解釋與數值處理需要更謹慎
離散化造成另一個問題
即使準確過程非負並符合Feller條件，簡單Euler步驟也可能產生負值
完全截斷、隱式方法、二次指數方案或準確轉移抽樣會以不同方式處理邊界
直接把負值裁為零會改變模擬模型，因此須檢驗收斂、偏差與Greeks穩定性
校準需要邊界診斷
不只要報告是否通過，還要報告比率2κθ/ξ²，並跨日期、測度與參數不確定性比較
方差風險溢價會改變均值回歸，因此現實測度與風險中性測度的參數可以不同
應檢驗近零路徑、時間步敏感度、轉移矩、期權誤差與對沖結果後才信任校準
常見問題
CIR過程的Feller條件是甚麼？
對dX = κ(θ-X)dt + σ√X dW，嚴格正值的標準條件是2κθ ≥ σ²
Feller條件失敗會怎樣？
準確過程可以到達零，但在正參數的標準CIR設定中仍保持非負
Heston必須符合Feller條件嗎？
並非所有定價用途都必須，但失敗會容許方差觸零並增加分析與數值問題
模擬為何會產生負方差？
簡單Euler等離散方案可能違反準確過程邊界，因此需要單獨驗證
資料來源與延伸閱讀
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