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微笑動態閱讀約12分鐘
SABR波幅模型詳解
了解SABR如何連接遠期與隨機波幅、Alpha、Beta、Rho與Vol-of-Vol怎樣塑造微笑，以及近似公式的限制
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
SABR是讓遠期與其波幅按相關隨機過程共同轉變的隨機波幅模型。Alpha、Beta、Rho與Vol-of-Vol能簡潔構造引伸波幅微笑，但校準結果和常用漸近近似公式都有不可忽視的適用範圍與限制
SABR共同模擬遠期與波幅
名稱來自stochastic alpha beta rho。遠期服從固定彈性擴散，波幅水平則服從另一隨機過程
兩個衝擊互相關連，令引伸波幅微笑在遠期轉變時亦會反應，而非停留在固定曲線
SABR最初在利率和外匯市場廣泛採用，這些市場重視按到期日與年期管理微笑
四個參數分擔不同作用
Alpha設定初始波幅規模，Beta透過彈性項控制遠期水平如何改變價格波動大小
Rho是遠期與波幅衝擊的相關系數；常稱Vol-of-Vol的Nu決定未來波幅水平的不確定程度
各作用並不獨立，微笑水平、斜率或曲率可由多個參數的不同組合共同重現
Beta與Rho塑造不對稱
Beta為一時接近對數正態極限，為零時接近正態極限，中間值決定波動尺度隨遠期水平轉變的方式
負Rho通常令低行使價IV相對較高，正Rho則傾向令微笑向另一方向傾斜
Nu透過擴大未來波幅分布增加曲率，其影響與Rho及時間互動，不能只觀察單邊翼部
校準通常按單一微笑截面進行
在一個到期日把參數配合至各行使價市場IV，常見做法是固定Beta，再求Alpha、Rho與Nu
有限行使價中Beta與Rho可互相替代，固定Beta有助提高穩定性，但必須記錄這項選擇
權重、買賣價範圍、行使價覆蓋、正態或對數正態報價、位移和優化約束都會改變結果
微笑動態會影響對沖
Hagan等人提出SABR的原因之一，是局部波幅模型的微笑移動可與市場觀察相反，令對沖不穩定
遠期與波幅衝擊的相關性，使模型產生遠期變化與微笑位移之間的條件關係
配合關係仍是情景而非定律，實際反應會隨市場狀態、年期、事件、方向和速度改變
常用公式是一種近似
實際實作通常採用Hagan的漸近引伸波幅公式，而非精確積分隨機過程
長年期、極端行使價、高Vol-of-Vol或困難參數組合會降低精度；低利率環境亦可能需要位移
應在整個使用範圍檢查價格、密度與靜態套利。流動行使價附近的細小誤差不能驗證遙遠翼部
把參數視為受控座標
監察跨日期與相鄰到期日的參數穩定性，但不要強迫會損害配合或製造日曆矛盾的平滑性
把近似公式與數值基準和其他微笑模型比較，並壓力測試遠期、波幅、相關性與外推行使價
SABR是描述微笑風險的實用語言，不是唯一真實過程。曲面應附帶報價慣例、範圍、誤差、版本與已知失效條件
常見問題
SABR代表甚麼？
它代表stochastic alpha beta rho，既是模型名稱也包含三個慣用參數；Nu則是Vol-of-Vol參數
SABR中的Beta有甚麼作用？
它控制遠期水平如何改變價格波動尺度，並連接接近正態與接近對數正態的行為
為何校準時常固定Beta？
在有限行使價範圍，Beta可與Rho等參數互相替代；固定它有助穩定並解讀其餘結果
SABR微笑一定無套利嗎？
不一定。常用公式是近似，因此必須在實際範圍檢查價格和引伸密度的行使價與日曆套利
資料來源與延伸閱讀
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