所有選擇權指南
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罕見事件與選擇權的Importance Sampling
理解概似比重加權如何保留期望、指數傾斜如何降低罕見事件變異數，以及權重退化如何破壞選擇權模擬
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Importance Sampling在更常造訪重要罕見結果的提議測度下模擬，再用概似比恢復原期望。合適的提議分配可大幅降低變異數；不良分配卻會產生不穩定甚至變異數無窮的權重
測度轉換保留目標
對目標測度P、提議測度Q與損益h，導數有效時E_P[h(X)]=E_Q[h(X)dP/dQ(X)]
估計量對來自Q的X_i平均h(X_i)w(X_i)，其中w=dP/dQ
精確權重保持普通估計量無偏；只改抽樣規律而不加權會改變估計目標
提議分配應讓貢獻常見
若深度價外損益或違約事件幾乎總為零，粗略模擬會浪費大部分路徑
有效Q把機率移向|h|較大的狀態，同時避免加權貢獻過度不均
對非負被積函數，零變異數提議密度正比於h(x)p(x)，但它需要未知期望本身
指數傾斜使用罕見事件幾何
指數傾斜用exp(θX)重加權結果，再以矩生成函數歸一化
大偏差或鞍點分析可選擇θ，使罕見目標在Q下變成典型結果
路徑、障礙、多損失模式或厚尾可能讓固定傾斜失敗，需要狀態依賴、自適應或混合提議
金融有許多稀疏損益問題
可加速深度履約價選擇權、障礙、信用損失、暴險尾端與部分概似比Greek估計
每次改變漂移或衝擊，都必須使用正確的全路徑概似比，而非只修正終值密度
貼現、風險中性動態、離散化、提前停止與路徑監測必須配合原定價目標
權重退化會抹去收益
若Q在h重要區域賦予的機率太小，少數巨大權重會主導估計
平均值可能存在，但E_Q[(hw)²]無窮會讓常規變異數與中心極限信賴區間失效
對數權重能防止數值下溢，卻不能修復支撐缺失、無窮變異數或遺漏另一重要模式
診斷能揭示但不能認證
追蹤權重直方圖、最大份額、變異係數、有效樣本量以及各狀態與路徑群貢獻
歸一化常數未知時可自我歸一化，但比例估計量在有限樣本下一般有偏
若提議從未發現相關區域，即使有效樣本量很高也不能證明準確
驗證比較相同計算預算
以相同離散化和相近總成本獨立重複粗略與重要抽樣估計
檢查樣本變異數、區間涵蓋、偏差、罕見區域涵蓋、提議敏感度與事件變稀時的穩定性
盡可能使用解析或轉換基準，並保留具有寬支撐的防禦性混合成分
常見問題
什麼是Importance Sampling？
它是在另一測度下進行蒙地卡羅，再用概似比修正以保留原目標期望的方法
為什麼適合罕見事件？
它更頻繁生成損益區域的路徑，不必等待粗略模擬中的稀少貢獻
估計量總是無偏嗎？
精確加權的普通估計量在條件下無偏；自我歸一化版本在有限樣本下一般不是
什麼是權重退化？
少數極端權重承擔幾乎全部估計值，使變異數與有效資訊變得脆弱
資料來源與延伸閱讀
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