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測度轉換約12分鐘
選擇權定價中的Girsanov定理詳解
理解Girsanov定理如何在機率測度之間移動布朗漂移、保留擴散項並導出風險中立動態
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Girsanov定理說明絕對連續機率測度轉換如何移動布朗驅動過程的漂移，同時保留擴散項。在明確的密度與可積分條件下，它是將現實世界動態嚴謹連接到風險中立定價動態的核心工具
現實測度動態包含預期報酬漂移
在現實測度 P 下，股票可能服從 dS/S = μdt + σdWᴾ，其中 μ 是模型預期報酬率
漂移對預測和投資組合選擇重要，但完備擴散模型的無套利選擇權價值不應依賴任意 μ 估計
由現實機率轉至定價機率不是更換一個符號，而是需要有效的測度轉換
密度過程重新加權整條路徑
Radon–Nikodym導數定義新測度截至各時點相對舊測度如何加權事件
在布朗模型中，密度通常寫成由常記為 λ 的過程所構造的隨機指數
密度必須為正且期望為一，否則所提表達式可能無法定義等價機率測度
布朗運動獲得補償漂移
在有效密度下，採用常見符號慣例，Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt 是新測度 Q 下的布朗運動
代入 dWᴾ = dWᵠ − λdt，會移動所有暴露於該布朗衝擊過程的漂移
乘在 dW 上的波動率不會消失。等價擴散測度轉換改變漂移而保留瞬時共變異數結構
風險中立漂移跟隨融資與持有成本
無股利股票選擇 λ 讓 Q 漂移成為短期利率 r；有股利率 q 時，除息漂移通常是 r − q
折現總報酬資產因而成為 Q 鞅，可複製報酬可按折現 Q 期望定價
這不表示股票在現實中賺取 r，而是說明其漂移在所選定價測度下如何表現
Lambda代表布朗風險價格
在無股利的簡單常數係數情況，按所述符號慣例 λ = (μ − r) / σ
有多個風險來源時，風險價格向量透過波動率負荷矩陣移動漂移；負荷秩不足便無法達成任意漂移
在不完備市場，交易資產未能決定的風險價格成分可能留下，產生多個可接受鞅測度
定理需要可積分條件
Novikov、Kazamaki等條件常用於確保隨機指數是真鞅，而不只是一個局部鞅
等價性也保留零機率事件，測度轉換不能讓真正不可能的路徑變成可能而仍保持等價
爆炸係數、嚴格局部鞅、無限期限或弱正則性都可能讓隨意套用公式失效
跳躍與實作需要更廣泛轉換
對跳躍過程，測度轉換除連續漂移外，也可能改變跳躍強度與跳躍大小分配
校準定價模型可直接指定風險中立參數，但連接現實估計仍需要風險溢酬模型
解讀前應說明原測度、目標測度、密度、符號、計價基準、期限與成立條件
常見問題
Girsanov定理在金融中做什麼？
它提供改變機率測度、移動布朗漂移並讓折現可交易價格成為鞅的條件
Girsanov定理會改變波動率嗎？
等價布朗擴散轉換會移動漂移，同時保留瞬時擴散係數與共變異數
什麼是市場風險價格？
它是密度中將風險暴露轉換成現實測度與定價測度間漂移調整的過程
Girsanov定理可用於跳躍嗎？
可透過更廣泛的半鞅結果使用，但跳躍強度與大小分配也可能改變，必須說明
資料來源與延伸閱讀
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