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指数测度倾斜阅读约14分钟
Esscher变换与期权定价详解
理解指数倾斜、累积生成函数位移、Lévy测度变化、鞅参数选择、不完备市场和存在性检验
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Esscher变换用e^{θx}为结果x赋予权重，再以矩生成函数归一化，从而改变概率。在指数型资产模型中，可以选择θ使变换测度下的贴现价格成为鞅，由此构造一个可用于定价的概率测度
指数倾斜改变结果权重
对M(θ) = E[e^{θX}]有限的随机变量X，定义dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
正θ强调较大结果，负θ强调较小结果，归一化使新权重总和为一
变换改变概率而非观测结果，并且只在所需指数矩有限的区域存在
累积生成函数发生平移
在矩定义域内令κ(u) = log E[e^{uX}]
Esscher测度下κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)
若导数有限，κ_θ在零处的导数给出倾斜后的矩，便于鞍点近似和风险计算
过程需要时间一致的密度
对Lévy过程X_t，密度过程为Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))
若θ位于有效矩定义域，平稳独立增量使Z成为正鞅
在Q_θ下过程仍为Lévy，但漂移和跳跃规律改变，路径与零概率事件保持相容
Lévy测度被指数倾斜
在适当约定下，跳跃测度变为ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
布朗方差不变，漂移根据布朗倾斜、跳跃补偿和截断约定调整
若不说明截断函数，只比较漂移参数会产生虚假的差异
鞅条件选择定价参数
对持有成本为r-q的S_t = S_0e^{X_t}，贴现鞅要求κ_θ(1) = r-q
若两个指数矩均存在，等价地求解κ(θ+1) - κ(θ) = r-q
方程可能无解或有唯一解，并在矩边界附近数值不稳定，所以参数选择不是自动的
Esscher是不完备市场中的一种选择
跳跃风险通常无法完全复制，因此可能有多个等价鞅测度满足无套利
Esscher规则选择保持指数倾斜模型族的一种测度，但无套利本身不会使它优于所有替代方案
经济偏好、校准目标、熵准则、对冲目的或市场约定可能要求其他测度
验证必须覆盖尾部
检查θ与θ+1的矩定义域、密度归一化、等价支撑、鞅等式和变换后的三元组
样本内θ稳定也可能隐藏不稳定的尾部外推，应按期限与市场状态重新校准
比较其他容许测度下的期权价格和对冲误差，以揭示Esscher选择的模型风险成本
常见问题
如何简单理解Esscher变换？
它对较大或较小结果给予指数级更多权重，再把总和重新归一化为一
期权定价如何选择θ？
通常选择使模型贴现资产价格在变换测度下成为鞅的θ
Esscher变换总是存在吗？
不是。所需指数矩必须有限，而且鞅方程可能没有容许解
Esscher鞅测度唯一吗？
参数在Esscher族内可能唯一，但其他等价鞅测度仍可存在
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权