Factor estocástico de descuento: cómo une tiempo, riesgo y precio

Para un pago X dentro de un periodo, el precio actual P satisface P = E[mX] bajo la probabilidad física

La misma m debe valorar todos los activos del modelo. Esa restricción común permite comparar valores de forma coherente

m transforma una unidad futura en valor presente estado por estado; no aplica una única tasa constante a todos los resultados

En un modelo de consumidor representativo, m es proporcional a la utilidad marginal futura descontada dividida por la actual

Cuando el consumo escasea y la utilidad marginal es alta, un pago resulta especialmente valioso y m aumenta en ese estado

Esta lectura depende de supuestos sobre preferencias y equilibrio, pero la ecuación puede usarse sin adoptar un modelo concreto de utilidad

Para un retorno bruto R, E[mR] = 1. Al expandir: E[m]E[R] + Cov(m,R) = 1

Un activo que rinde mal cuando m es alta ofrece poco seguro y suele necesitar mayor retorno esperado para que alguien lo mantenga

Un activo que paga en estados malos puede tener precio alto y retorno esperado bajo porque covaría positivamente con m

Con retorno bruto sin riesgo R_f conocido, E[m]R_f = 1 y por tanto E[m] = 1/R_f en un periodo

La media recoge el descuento temporal ordinario; la variación de m entre estados genera el ajuste por riesgo

Una m determinista eliminaría las primas basadas en covarianza dentro de ese modelo

En estados discretos con probabilidades físicas p_s, el precio de estado q_s es p_s multiplicado por m_s

Normalizar los precios de estado por el precio del bono produce probabilidades neutrales al riesgo. Las tres formas codifican la misma función de valoración

p_s describe frecuencia, q_s es un peso de valor presente y q_s normalizado es una probabilidad de valoración; no son la misma interpretación

Si los pagos negociados no abarcan todos los estados, varios factores positivos pueden valorar igual los activos observados

Hace falta un modelo o criterio adicional para pagos no replicables, igual que para elegir una medida martingala

Una estimación sin restricciones puede producir m negativas, incompatible con la condición positiva usada en resultados fuertes de no arbitraje

Un modelo candidato exige E[mR_i] = 1 para cada retorno probado. Su versión muestral contiene error de valoración y de estimación

La cota de Hansen–Jagannathan relaciona la volatilidad mínima de una m válida con ratios de Sharpe alcanzables

Conviene declarar activos, horizonte, información condicionante, convención de retorno, error muestral y positividad antes de evaluar el modelo