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Elegir una distribución desde restricciones incompletas15 min de lectura
El principio de máxima entropía en finanzas
Entiende la máxima entropía bajo restricciones de momentos y opciones, su dual exponencial, el papel de la medida base y las pruebas de una distribución implícita
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
El principio de máxima entropía elige la distribución de mayor entropía entre las que cumplen restricciones declaradas. En finanzas puede inferir una ley neutral al riesgo desde momentos u opciones, pero “menos informativa” solo tiene sentido respecto al soporte, variables, medida base y restricciones elegidos
La entropía ordena distribuciones factibles
Para probabilidades discretas p_i, H(p)=−Σ_i p_i log p_i
Se maximiza H sujeto a p_i≥0, Σ_i p_i=1 y restricciones como Σ_i p_i f_j(x_i)=c_j
El resultado no añade estructura más allá de la impuesta por soporte, representación y restricciones
La solución suele ser exponencial
Con medida base m y restricciones lineales, p_θ(x)=m(x)exp[Σ_jθ_jf_j(x)−ψ(θ)] es una forma común
El normalizador ψ hace que la masa sea uno y su gradiente iguala expectativas y restricciones
El Hessiano de ψ es una covarianza y conecta curvatura dual, identificación y condicionamiento
La entropía continua necesita referencia
La entropía diferencial cambia bajo transformaciones no lineales y no es una cantidad invariante
Minimizar KL(p||m) frente a una medida base explícita vuelve visible esa dependencia
Cambiar variable, soporte, malla o referencia puede cambiar la respuesta con restricciones aparentemente iguales
Los precios de opciones son restricciones lineales
Los precios europeos descontados son esperanzas neutrales al riesgo de sus pagos y restringen la ley terminal
Normalización y martingala forward acompañan strikes, descuento, dividendos y convenciones
Buchen–Kelly infieren una ley desde opciones y la mínima entropía cruzada permite incluir una distribución previa
La factibilidad precede a la optimización
Mids ruidosos pueden violar límites, monotonía o convexidad y hacer imposible una densidad no negativa exacta
Bandas bid–ask, ajuste ponderado o holguras recuperan factibilidad, pero cambian la información impuesta
Restricciones de frontera concentran masa, llevan multiplicadores al extremo y empeoran el condicionamiento
Suavidad no demuestra verdad
Máxima entropía elige una ley de un conjunto indeterminado; no prueba que el mercado siga esa ley
Strikes dispersos identifican mal las colas y la medida base puede extender masa sin evidencia económica
Demasiadas restricciones ruidosas sobreajustan; muy pocas ocultan sonrisa e incertidumbre entre strikes
La validación revalora y perturba
Comprueba positividad, normalización, forward, bandas y no arbitraje en una malla densa
Perturba cotizaciones, malla, extremos, prior, pesos y tolerancias para encontrar colas inestables
Compara opciones fuera de muestra e informa elección, residuos duales, restricciones activas e incertidumbre
Preguntas frecuentes
¿Qué es el principio de máxima entropía?
Elige la ley de mayor entropía entre todas las que cumplen normalización y expectativas especificadas
¿Encuentra la distribución verdadera?
No. Elige una ley mínimamente comprometida respecto al soporte, referencia, variables y restricciones declarados
¿Cómo restringen la distribución las opciones?
Cada precio europeo aporta una esperanza descontada de su pago bajo la ley terminal neutral al riesgo
¿Por qué usar entropía relativa?
Hace explícita la medida previa o base, mientras la entropía diferencial cambia al transformar coordenadas
Fuentes
Aplique esta idea a una opción
Elija un contrato y un objetivo para mantener visibles los supuestos de precio, tiempo y volatilidad en un mismo análisis
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