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Equidad local, pérdida global14 min de lectura
Martingalas locales y locales estrictas
Comprende localización, pérdida de esperanza, martingalas locales estrictas positivas, burbujas, cambios de medida y diagnósticos de opciones
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Una martingala local se vuelve martingala al pararla antes de regiones difíciles. Una local estricta no es martingala verdadera global: aun sin deriva local puede fallar la integrabilidad y caer la esperanza de un proceso no negativo
La localización controla trayectorias difíciles
Un proceso adaptado M es martingala local si tiempos τ_n crecen a infinito casi seguramente y cada M_{t∧τ_n} es martingala
Las paradas pueden limitar excursiones o integrales para que las esperanzas condicionales estén controladas en cada región
Localizar es ampliar zonas seguras en una prueba; no significa que el proceso sea aproximadamente martingala solo en horizontes cortos
Una martingala verdadera exige integrabilidad global
Toda martingala verdadera es local, pero el recíproco necesita condiciones que permitan pasar límites por esperanzas condicionales
La integrabilidad uniforme o una dominación adecuada son controles típicos que justifican ese paso
Sin ellos, masa puede escapar por trayectorias extremas cada vez más raras cuando retroceden las barreras locales
La positividad da supermartingala, no igualdad
Una martingala local no negativa es supermartingala por argumentos de tipo Fatou, así que E[M_t] ≤ E[M_s] para s ≤ t
Es verdadera si conserva la esperanza bajo la integrabilidad apropiada; es estricta si existe un déficit genuino
Una deriva local nula no implica por sí sola una esperanza incondicional constante
Las exponenciales estocásticas requieren una prueba
Las exponenciales estocásticas son martingalas locales positivas y candidatas naturales a densidades de cambio de medida
Condiciones como Novikov o Kazamaki pueden probar la propiedad verdadera, pero son criterios suficientes y no definiciones equivalentes
Si la densidad candidata es estricta, su esperanza terminal es menor que uno y no define sin más la medida equivalente pretendida
La propiedad estricta puede modelar una burbuja
En algunas definiciones, un precio descontado local estricto no negativo supera una esperanza fundamental menor
La diferencia de esperanza, llamada a menudo defecto martingala, cuantifica esa brecha dependiente del modelo
Es una afirmación dentro de una medida, filtración, admisibilidad y regla de precio; no demuestra automáticamente sobrevaloración empírica
Las identidades de opciones pueden necesitar ajustes
La paridad put–call y la monotonía por vencimiento de calls suelen usar que el subyacente descontado es martingala verdadera
En modelos locales estrictos, la paridad puede incorporar un defecto y el call depender de convenciones de colateral o admisibilidad
Conviene derivar cada identidad desde las expectativas y supuestos de negociación, no importar fórmulas sin cambios
Hay que diagnosticar el modelo antes de valorar
Comprueba conservación de esperanza, fronteras, explosión, integrabilidad uniforme y validez de cualquier proceso de densidad
Monte Carlo puede omitir las trayectorias raras responsables de la pérdida, por lo que una media estable es evidencia débil
Combina fronteras de EDP, asintótica, criterios de propiedad estricta, truncamientos y estimaciones del defecto con simulación
Preguntas frecuentes
¿En qué se distingue una martingala local?
La verdadera cumple integrabilidad global e igualdad condicional; la local las cumple después de paradas adecuadas
¿Qué la convierte en local estricta?
Ser local pero no verdadera, algo que en procesos no negativos suele verse como fallo de integrabilidad o caída de esperanza
¿Puede aumentar la esperanza de una martingala local positiva?
No. Al ser una supermartingala no negativa, su esperanza no puede aumentar, aunque sí permanecer constante
¿Por qué importa para las opciones?
Puede introducir un defecto, alterar paridades conocidas y hacer el precio sensible a fronteras y reglas de admisibilidad
Fuentes
Aplique esta idea a una opción
Elija un contrato y un objetivo para mantener visibles los supuestos de precio, tiempo y volatilidad en un mismo análisis
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