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Riesgo de salto estructurado15 min de lectura
Procesos de Lévy y compensadores de saltos
Comprende incrementos estacionarios independientes, tripleta de Lévy, descomposición Lévy–Itô, compensación, usos financieros y límites
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Un proceso de Lévy tiene incrementos estacionarios independientes y trayectorias càdlàg. Deriva, varianza browniana y medida de Lévy describen su movimiento; el compensador separa la intensidad predecible de la sorpresa de salto
Los incrementos definen el reloj
En un proceso X, los incrementos de intervalos disjuntos son independientes y la ley de X_{t+h}-X_t depende solo de h
La continuidad estocástica excluye discontinuidades fijas en probabilidad y una versión càdlàg da continuidad derecha y límites izquierdos
La ley de incrementos es homogénea en el tiempo, una hipótesis fuerte, útil y comprobable con datos
La tripleta de Lévy identifica el proceso
Fijada una convención de truncamiento, (b, σ², ν) representa deriva, varianza browniana y medida de saltos
ν registra la intensidad esperada por tamaño y debe satisfacer ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞
Cambiar la función de truncamiento puede cambiar b, pero no la ley si toda la tripleta se transforma de modo coherente
Lévy–Khintchine opera en Fourier
La función característica cumple E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u)), con ψ determinada por la tripleta
Los incrementos convierten convolución temporal en multiplicación y hacen que el exponente característico escale linealmente con t
Esto facilita métodos Fourier de opciones, aunque la inversión exige controlar amortiguación, malla y truncamiento
Lévy–Itô separa fuentes de movimiento
La descomposición expresa X como deriva, componente browniano, saltos grandes y saltos pequeños compensados
Los saltos sobre cualquier umbral fijo tienen intensidad finita, pero puede haber infinitos saltos pequeños en tiempo finito
Actividad infinita y variación infinita son propiedades distintas y deben decidirse con integrales de ν
Compensar crea un término martingala
Si N(dt,dx) cuenta saltos de tamaño x, su compensador en un proceso de Lévy es dtν(dx)
Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) resta llegadas predecibles y convierte sorpresas integrables en una martingala local
La suma bruta y la integral compensada tienen derivas distintas; intercambiarlas sin ajustar variación finita cambia el modelo
Los modelos exponenciales necesitan corregir deriva
Aunque se use S_t = S_0e^{X_t} o una exponencial estocástica, la positividad no hace martingala al precio descontado
El exponente debe satisfacer el momento exponencial y la condición martingala bajo la medida de valoración elegida
Los saltos crean riesgo no replicable, por lo que las medidas pueden no ser únicas y hace falta un criterio adicional
La flexibilidad no elimina riesgo de modelo
Los saltos de Lévy ajustan asimetría, colas gruesas y sonrisas cortas mejor que una difusión pura
Los incrementos estacionarios independientes excluyen agrupación de volatilidad, apalancamiento e intensidad variable sin extensiones
Comprueba momentos, truncamiento, corrección martingala, estabilidad de calibración, extrapolación de colas y cobertura fuera de muestra
Preguntas frecuentes
¿Qué es un proceso de Lévy en términos sencillos?
Movimiento aleatorio homogéneo cuyos incrementos no solapados son independientes y que puede contener difusión y saltos
¿Qué describe la medida de Lévy?
La intensidad de llegada por tamaño de salto, incluida una posible actividad infinita cerca de cero
¿Por qué se compensa la medida de saltos?
Restar su intensidad predecible deja sorpresa centrada que puede integrarse como martingala
¿Todo proceso de Lévy tiene saltos?
No. El Browniano con deriva es un proceso de Lévy con medida ν igual a cero
Fuentes
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