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Dos direcciones de evolución14 min de lectura
Ecuaciones forward y backward de Kolmogorov
Comprende cómo el generador evoluciona valores hacia atrás y su adjunto densidades hacia delante, con Fokker–Planck, valoración y fronteras
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
La ecuación backward de Kolmogorov evoluciona un pago como función del estado actual. La forward, llamada Fokker–Planck para difusiones, evoluciona la distribución de estados futuros desde una ley inicial
Las transiciones conectan tres tiempos
El operador P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x] lleva una función futura al estado actual
Chapman–Kolmogorov P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} dice que introducir un tiempo intermedio no cambia la transición total
Las ecuaciones forward y backward son vistas diferenciales de la misma familia de evolución Markov
El generador describe el cambio infinitesimal
Para dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t, L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ con a = σ²
Resume el cambio condicional instantáneo de funciones de prueba suaves
Proceso, espacio, dominio y frontera completan el generador; una expresión diferencial formal no basta
La ecuación backward actúa sobre el inicio
Para g terminal, sea u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x] con s ≤ t
Bajo regularidad, cumple ∂_s u + L_su = 0 y u(t,x) = g(x)
Es backward porque fija la función final y mueve el tiempo condicionante hacia el presente
El adjunto mueve distribuciones
Tras tratar fronteras, L_t† se define por ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx
En una difusión unidimensional, L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)
El adjunto pasa el generador de funciones a densidades y revierte derivadas mediante integración por partes
La ecuación forward propaga masa
La densidad ρ(t,x) satisface ∂_tρ = L_t†ρ desde su distribución inicial
En una densidad de transición evoluciona la variable destino manteniendo fijo el punto inicial
Normalización, no negatividad, flujo y fronteras deciden si una solución formal es una ley válida
Finanzas usa cada dirección para una tarea
La valoración suele retroceder desde el pago terminal y el descuento añade un término de muerte
Pronóstico de distribución, perfiles de exposición, calibración de densidad y parte del riesgo avanzan desde hoy
El valor backward debe igualar el pago futuro integrado contra la densidad forward, lo que permite validación cruzada
Fronteras y numerics pueden romper la dualidad
Fronteras absorbentes, reflectantes, de entrada o inaccesibles imponen condiciones distintas de valor y flujo
Comprueba conservación o pérdida de masa, positividad, datos iniciales y finales, adjunto discreto y convergencia de malla
Monte Carlo independiente puede revelar errores de signo, deriva, frontera y dirección temporal
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre forward y backward?
La backward evoluciona una función del estado inicial; la forward evoluciona la ley del estado de destino
¿La forward es Fokker–Planck?
Sí para difusiones; Fokker–Planck es el nombre habitual de la ecuación de densidad forward
¿Cuál se usa para valorar opciones?
El valor europeo suele retroceder desde su pago, mientras la forward puede evolucionar densidades de precios de estado
¿Por qué importan las fronteras?
Determinan si la probabilidad se absorbe, refleja, conserva o no alcanza la frontera y cambian distribución y valor
Fuentes
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