Todas las guías de opciones
Puente entre EDP y esperanza14 min de lectura
Fórmula de Feynman–Kac para valorar opciones
Aprende cómo conecta EDP lineales y esperanzas descontadas mediante generadores, flujos, valoración neutral al riesgo, numerics y límites
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Feynman–Kac representa la solución de una EDP parabólica lineal como esperanza condicional sobre una difusión. En finanzas convierte la ecuación de valoración en el valor medio de pagos terminales y flujos continuos descontados
El generador fija la evolución local
Sea dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s y su generador Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
El generador resume el cambio condicional infinitesimal de funciones suaves del estado
Conecta la trayectoria con una ecuación sin afirmar que la ruta no diferenciable tenga una derivada ordinaria
Una EDP hacia atrás parte del terminal
Considera ∂_t u + Lu - r u + f = 0 con condición u(T,x) = g(x)
Aquí g es el pago terminal, r una tasa de descuento o muerte y f una fuente cuyo signo sigue la convención declarada
La difusión avanza, pero la valoración retrocede porque el dato conocido está en T
La esperanza condicional representa la solución
Bajo regularidad e integrabilidad, u(t,x) es la esperanza del g(X_T) descontado más el f acumulado y descontado
Con D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv), vale E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
Aplicar Itô a D_{t,s}u(s,X_s) hace que su deriva sea la fuente negativa y la identidad surge al tomar esperanzas
El descuento forma parte del operador
Un tipo constante da e^{-r(T-t)}, pero un tipo dependiente del estado exige una integral por trayectoria
Dividendos, cupones, costes o fuentes continuas entran por la integral temporal y no se ocultan en el pago terminal
Cambiar signos de la EDP cambia la representación; operador, terminal y dirección temporal deben copiarse juntos
La valoración neutral al riesgo es un caso especial
Bajo una medida válida, la dinámica descontada determina L y el derivado satisface la EDP asociada
Para un derecho europeo sin pagos continuos, el precio es la esperanza condicional de su pago terminal descontado
Black–Scholes es una instancia del puente, no la definición de Feynman–Kac ni prueba de que todo mercado sea completo
EDP y Monte Carlo buscan el mismo valor
Las diferencias finitas resuelven la ecuación hacia atrás; Monte Carlo estima la esperanza de trayectorias hacia delante
La concordancia entre implementaciones independientes verifica signos, descuento, fronteras y error de muestreo
Las EDP sirven en baja dimensión; la simulación conviene cuando muchos estados o funciones de ruta encarecen la malla
El teorema tiene condiciones y fronteras
La forma clásica exige condiciones sobre coeficientes, crecimiento, regularidad, integrabilidad y unicidad; versiones débiles amplían el alcance
El ejercicio americano crea un obstáculo, y la financiación o el control no lineales no caben en la fórmula lineal simple
Los saltos producen ecuaciones integro-diferenciales y la dependencia de ruta suele exigir ampliar el estado
Preguntas frecuentes
¿Qué dice Feynman–Kac en términos sencillos?
Que el valor de cierta ecuación diferencial puede calcularse promediando resultados descontados de un proceso aleatorio relacionado
¿Por qué la EDP se resuelve hacia atrás?
El pago está fijado al vencimiento, por lo que el valor terminal se propaga desde T hasta hoy
¿Es lo mismo que valoración neutral al riesgo?
No. El modelo neutral aporta medida y generador; Feynman–Kac conecta su EDP lineal con la esperanza
¿Valora directamente opciones americanas?
No. El ejercicio temprano convierte la igualdad en un problema de obstáculo o de parada óptima
Fuentes
Aplique esta idea a una opción
Elija un contrato y un objetivo para mantener visibles los supuestos de precio, tiempo y volatilidad en un mismo análisis
Analizar mi opción en inglés