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Inclinación exponencial de medida14 min de lectura
Transformada de Esscher en valoración de opciones
Comprende inclinación exponencial, cambio de cumulantes y medida de Lévy, selección martingala, mercados incompletos y pruebas de existencia
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Esscher pondera un resultado x con e^{θx} y normaliza con su función generadora de momentos. En modelos exponenciales, θ puede elegirse para que el precio descontado sea martingala bajo la nueva medida
La inclinación exponencial cambia los pesos
Para X con M(θ) = E[e^{θX}] finita, se define dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
θ positivo resalta resultados grandes y θ negativo los pequeños; la normalización hace que los pesos sumen uno
La transformación cambia probabilidades, no resultados observados, y solo existe donde el momento exponencial es finito
La función cumulante se desplaza
Sea κ(u) = log E[e^{uX}] en su dominio de momentos
Bajo Esscher, κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)
Sus derivadas en cero dan momentos inclinados si existen, algo útil en aproximaciones y cálculos de riesgo
Un proceso necesita densidad coherente en el tiempo
Para un proceso de Lévy X_t, Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))
Los incrementos estacionarios independientes hacen Z martingala positiva si θ está en el dominio válido
Bajo Q_θ sigue siendo Lévy, pero cambian deriva y saltos mientras se conservan trayectorias y eventos nulos
La medida de Lévy se inclina exponencialmente
Bajo convenciones adecuadas, ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
La varianza browniana no cambia; la deriva se ajusta por inclinación, compensación y truncamiento
Comparar derivas sin declarar la función de truncamiento puede crear una discrepancia falsa
La condición martingala elige el parámetro
Para S_t = S_0e^{X_t} con carry r-q, se exige κ_θ(1) = r-q
Equivalentemente, κ(θ+1) - κ(θ) = r-q cuando existen ambos momentos
Puede no haber solución o ser inestable cerca de la frontera de momentos; la elección no es automática
Esscher es una elección en mercado incompleto
El salto no suele replicarse por completo y varias medidas martingala pueden satisfacer no arbitraje
Esscher escoge una que conserva la familia inclinada, pero no arbitraje no la privilegia sobre toda alternativa
Preferencias, calibración, entropía, cobertura o convenciones pueden indicar otra medida
La validación debe incluir las colas
Verifica dominios de θ y θ+1, normalización, soporte equivalente, igualdad martingala y tripleta transformada
Recalibra por vencimiento y régimen: un θ estable dentro de muestra puede ocultar extrapolación de cola inestable
Compara precios y errores de cobertura bajo otras medidas para revelar el coste de riesgo de modelo
Preguntas frecuentes
¿Qué es la transformada de Esscher en términos sencillos?
Una nueva ley que da exponencialmente más peso a resultados grandes o pequeños y vuelve a normalizar
¿Cómo se elige θ para opciones?
Suele elegirse para que el precio descontado del activo modelizado sea martingala bajo la medida transformada
¿Siempre existe?
No. Los momentos exponenciales deben ser finitos y la ecuación martingala puede carecer de solución admisible
¿La medida Esscher es única?
El parámetro puede ser único dentro de la familia Esscher aunque existan otras medidas martingala equivalentes
Fuentes
Aplique esta idea a una opción
Elija un contrato y un objetivo para mantener visibles los supuestos de precio, tiempo y volatilidad en un mismo análisis
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