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Compensación predecible12 min
Descomposición de Doob–Meyer: separar innovación y deriva acumulada
Aprende cómo Doob–Meyer separa una submartingala en innovación y acumulación predecible, con aplicaciones a intensidad, crédito y opciones americanas
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Doob–Meyer escribe una submartingala adecuada X como X = M + A de forma única: M es martingala y A es predecible, creciente y parte de cero. Así separa innovación inesperada de compensación condicional acumulada
Una submartingala tiene deriva condicional no negativa
X adaptado e integrable es submartingala si E[X_t | F_s] ≥ X_s para s ≤ t
Su media condicional futura puede subir aunque las trayectorias individuales bajen
Una supermartingala invierte la desigualdad y resta compensación creciente de su componente martingala
El proceso creciente debe ser predecible
Para una submartingala adecuada, continua por la derecha y de clase D, X_t = M_t + A_t con A_0 = 0
M lleva innovación de media condicional cero; A registra ganancia esperada acumulada de forma predecible
La predictibilidad distingue compensación conocida justo antes de ocurrir de otra sorpresa
La normalización hace única la descomposición
Sin A_0 = 0, una constante podría moverse libremente entre M y A
Bajo regularidad y predictibilidad, ambos componentes son únicos salvo indistinguibilidad
El compensador es así propiedad del proceso y filtración, no una tendencia ajustada arbitrariamente
El tiempo discreto muestra la construcción
Para una secuencia adaptada, defina ΔA_n = E[X_n - X_{n-1} | F_{n-1}]
La suma forma A y restarla de X deja diferencias de martingala
En una submartingala cada ΔA_n es no negativo; el tiempo continuo requiere argumentos de límite y regularidad
Los procesos de conteo usan compensadores
Para un conteo N con intensidad predecible λ, suele ser A_t = ∫_0^t λ_s ds
Entonces N_t - A_t es martingala local: saltos realizados menos tasa acumulada esperada
En crédito separa sorpresa de impago y llegada esperada por intensidad bajo la filtración elegida
La teoría de opciones usa la forma supermartingala
La envolvente de Snell de un pago americano es supermartingala y puede escribirse M - A
A registra valor consumido al mantener dominación sobre el pago y se vincula con el ejercicio anticipado
La descomposición opcional y ecuaciones reflejadas amplían la lógica con restricciones o impulsores no lineales
Estimar no equivale a demostrar el teorema
Declare medida, filtración, clase del proceso, regularidad, integrabilidad y si es submartingala verdadera o local
Una intensidad o deriva estimada modela A; ser suave no demuestra predictibilidad ni unicidad en el proceso real
Pruebe momentos del residuo, tiempos de salto, estabilidad, discretización y sensibilidad al conjunto de información
Preguntas frecuentes
¿Qué es la descomposición de Doob–Meyer en términos sencillos?
Separa un proceso con tendencia condicional al alza en cambios justos inesperados y crecimiento predecible acumulado
¿Qué es un compensador?
Es el proceso predecible de variación finita que, al restarse, deja una componente martingala
¿Por qué debe ser predecible el proceso creciente?
Sin ello, la sorpresa podría moverse arbitrariamente entre componentes y se perderían unicidad e interpretación
¿Cómo se usa en riesgo de crédito?
Al restar la intensidad acumulada de un conteo de impago se obtiene una martingala local
Fuentes
Aplique esta idea a una opción
Elija un contrato y un objetivo para mantener visibles los supuestos de precio, tiempo y volatilidad en un mismo análisis
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