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Corregir cuantiles normales por asimetría y curtosis15 min de lectura
Expansión Cornish–Fisher para cuantiles de riesgo
Entiende cómo corrige cuantiles normales con cumulantes, cómo difiere de Edgeworth y por qué las colas necesitan pruebas de monotonía y estabilidad
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Cornish–Fisher aproxima cuantiles corrigiendo un cuantil normal de referencia con cumulantes estandarizados. Puede llevar asimetría y curtosis a escenarios o ajustes de VaR, pero una fórmula truncada puede cruzar cuantiles y generar estimaciones poco fiables en colas lejanas
El resultado es un cuantil, no una densidad
Para probabilidad p, sea z_p=Φ^{-1}(p) el cuantil normal estándar
Cornish–Fisher corrige z_p y vuelve a escalar con la media μ y desviación σ del objetivo
Responde qué umbral corresponde a p, no qué densidad o pérdida media existe más allá
Asimetría y curtosis crean las primeras correcciones
Con asimetría γ₁ y exceso de curtosis γ₂, una forma empieza por z_p+γ₁(z_p²−1)/6
Añade γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36 antes de multiplicar por σ y sumar μ
El término γ₁² muestra que el orden asintótico no equivale a añadir una corrección por momento superior
La expansión procede de una inversión asintótica
Cornish–Fisher puede derivarse invirtiendo una aproximación Edgeworth de la distribución acumulada
Edgeworth aproxima densidad o CDF en x; Cornish–Fisher aproxima el x asociado a una probabilidad elegida
Ambas necesitan una secuencia y escala de cumulantes declaradas para controlar el orden truncado
El riesgo necesita la medida correcta
Los retornos físicos ajustan VaR histórico o previsto; los cumulantes implícitos en opciones describen una ley neutral al riesgo
Responden preguntas distintas y no deben mezclarse solo porque ambos usan asimetría y curtosis
Cornish–Fisher aporta un umbral, no el expected shortfall, que depende de toda la cola posterior
Los cuantiles pueden cruzarse o retroceder
La corrección polinómica crece con |z_p| y puede hacer que el cuantil baje cuando p sube
Gran asimetría o curtosis puede sacar la aproximación del soporte o invertir el orden de cola
El reordenamiento monótono repara el orden, pero la curva reparada ya no es la expansión truncada intacta
Los cumulantes estimados añaden error
Asimetría y curtosis muestrales son ruidosas y sensibles a atípicos, ventana, régimen y dependencia
Tratar entradas estimadas como conocidas ignora una incertidumbre que puede superar la corrección formal
Las colas amplifican error de coeficientes y truncamiento justo donde las decisiones importan más
La validación prueba toda la curva
Revisa q(p) en una malla densa por monotonía, finitud, soporte y comportamiento razonable en extremos
Compara con leyes exactas, simulación, bootstrap y tasas de excedencia fuera de muestra en varios niveles
Registra convención, horizonte, dependencia, orden, reparación y cálculo separado de expected shortfall
Preguntas frecuentes
¿Qué estima Cornish–Fisher?
Un cuantil elegido desde un cuantil normal más correcciones de asimetría, curtosis y cumulantes superiores
¿Cómo difiere de Edgeworth?
Edgeworth aproxima densidad o CDF en un valor; Cornish–Fisher aproxima el valor de una probabilidad elegida
¿Calcula expected shortfall?
No por sí sola. Esa medida exige la pérdida media más allá del cuantil, no solo un umbral corregido
¿Por qué pueden cruzarse los cuantiles?
Las correcciones polinómicas truncadas crecen y oscilan en las colas, volviendo no monótona la función aproximada
Fuentes
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