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Traslaciones gaussianas admisibles15 min de lectura
Teorema de Cameron–Martin en finanzas
Aprende qué traslaciones conservan la equivalencia de la medida de Wiener, qué contiene el espacio de Cameron–Martin y su relación con Girsanov
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
El teorema de Cameron–Martin identifica traslaciones deterministas que conservan la equivalencia de Wiener. Forman un espacio de Hilbert de trayectorias con energía finita; las traslaciones externas suelen ser singulares
Trasladar es sencillo en dimensión finita
Un vector gaussiano no degenerado trasladado por cualquier vector fijo finito conserva una densidad equivalente a la ley original
La razón de verosimilitud es una expresión exponencial que combina el desplazamiento y el vector observado
La medida de Wiener vive en un espacio infinito de trayectorias, donde no toda traslación determinista es inocua
Las trayectorias de energía finita son admisibles
Para un movimiento browniano en [0,T], una trayectoria de Cameron–Martin h parte de cero y es absolutamente continua
Su derivada h′ debe ser cuadrado-integrable, con energía finita ∫₀ᵀ|h′(t)|²dt
Estas trayectorias forman un espacio de Hilbert, aunque una trayectoria browniana típica no pertenece a él
Los desplazamientos admisibles preservan nulos
Si h pertenece al espacio de Cameron–Martin, las leyes de W y W+h son mutuamente absolutamente continuas
La densidad Radon–Nikodym tiene un término lineal exponencial de h′ contra W y una corrección de media energía
Equivalencia significa acordar qué sucesos tienen probabilidad cero, no conservar la probabilidad de cada suceso
Fuera del espacio aparece singularidad
Si una traslación determinista no tiene la energía exigida, las medidas de Wiener original y trasladada suelen ser mutuamente singulares
Cada medida se concentra entonces en un conjunto que la otra considera nulo, algo sin análogo gaussiano finito
Esta frontera tajante es el mensaje central del teorema, no solo la fórmula de densidad para traslaciones válidas
Girsanov extiende la idea de traslado
Cameron–Martin trata traslaciones deterministas; Girsanov permite cambios de deriva aleatorios y adaptados bajo condiciones
Ambos usan densidades exponenciales e integrabilidad cuadrática, pero Girsanov exige además una densidad martingala válida
Llamar Cameron–Martin a todo cambio de deriva oculta la diferencia entre traslado geométrico fijo y cambio estocástico de medida
Las finanzas aprovechan esta geometría
Cambios de deriva neutral al riesgo, sensibilidades por verosimilitud, muestreo de importancia y tipos gaussianos usan ideas afines
Un desplazamiento puede hacer frecuentes pagos raros y la densidad corrige después el promedio de la simulación
Los métodos de Malliavin usan direcciones de Cameron–Martin para derivar funcionales de trayectoria y estimar griegas
Equivalencia no implica un buen modelo
El teorema describe geometría gaussiana; no demuestra mercado completo, ausencia de arbitraje ni dinámica browniana empírica
Un traslado válido puede generar pesos inestables u omitir saltos, volatilidad estocástica y fricciones de negociación
Antes de calcular, hay que revisar espacio, covarianza, signo de densidad, integrabilidad y varianza del estimador
Preguntas frecuentes
¿Qué es el espacio de Cameron–Martin?
Para Brown, es el espacio de Hilbert de trayectorias desde cero, absolutamente continuas y con derivada cuadrado-integrable
¿Una trayectoria browniana pertenece a ese espacio?
Casi seguramente no. Es demasiado irregular, aunque las trayectorias Cameron–Martin describen direcciones de traslado admisibles
¿En qué se diferencia de Girsanov?
Cameron–Martin desplaza por una trayectoria determinista finita; Girsanov admite derivas adaptadas si su densidad es válida
¿Por qué importa el teorema en finanzas?
Fundamenta reponderación gaussiana, sensibilidades, muestreo de importancia e intuición sobre cambios de medida
Fuentes
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