선택정지 정리: 마팅게일을 언제 멈춰도 공정할까

무작위 시점 τ가 정지시간이려면 {τ ≤ t}라는 사건을 t까지 이용 가능한 정보 F_t로 판단할 수 있어야 합니다

장벽에 도달한 뒤 멈출 수는 있지만 내일 가격을 본 뒤 오늘 이미 알았던 것처럼 τ를 정의할 수는 없습니다

이 정의는 미래정보 사용을 막지만 무한한 정지규칙과 기대값의 극한 교환까지 보장하지는 않습니다

정지과정 M_{t∧τ}는 τ까지 M을 따라가고 그 뒤에는 정지한 값에 머뭅니다

마팅게일과 정지시간이 주어지면 각 고정 t에서 통상적인 적분가능성 아래 정지과정도 마팅게일입니다

각 유한 t의 결과에서 무작위 종값 M_τ로 넘어가려면 극한을 통제하는 추가 조건이 필요합니다

대표적인 형태는 τ가 유계이거나 M이 유계이거나 정지된 값들의 모임이 균등적분가능하다고 가정합니다

이산시간에서는 유한한 E[τ]와 적절히 제한된 증분을 사용할 수도 있지만 정확한 가정은 정리마다 다릅니다

σ ≤ τ인 정지시간에는 조건이 맞을 때 E[M_τ | F_σ] = M_σ라는 강한 형태가 성립합니다

공정한 동전게임에서 질 때마다 판돈을 두 배로 늘리면 첫 승리에 한 단위 이익을 얻는 것처럼 보입니다

그러나 정지시간은 유계가 아니며 중간 손실과 필요한 신용은 끝없이 커지고 정지값은 균등적분가능하지 않습니다

따라서 겉보기 무위험이익은 선택정지 정리와 모순되지 않고 극한을 정당화하는 조건을 위반합니다

두 개의 유한 장벽 중 하나에서 멈추는 확률보행의 정지값은 유계이므로 선택정지를 적용할 수 있습니다

정지 기대값을 두 경계값과 각 도달확률로 쓰면 위쪽 장벽에 먼저 닿을 확률을 풀 수 있습니다

오버슈트·점프·할인·표류·무한기간이 있다면 가장 단순한 유계 보행공식을 그대로 쓰지 말고 포함해야 합니다

미국형 청구권 보유자는 허용된 정보집합에서 행사 정지시간을 선택합니다

가격결정측도 아래 그 가치는 적절한 조건에서 허용 정지시간에 대한 할인 기대지급액의 상한입니다

Snell 포락선은 지급과정 이상인 가장 작은 초마팅게일이며 최적 정지시간이 존재하면 행사영역을 식별합니다

필트레이션, 측도, 정지과정, 기간, 지급액, 허용 정지시간과 사용하는 정리의 형태를 명시하세요

정지 기대값을 초기값으로 바꾸기 전에 유계성·균등적분가능성 또는 선택한 정리의 정확한 대체조건을 확인해야 합니다

시뮬레이션에서는 미래정보, 강제 만기편향, 기간 안에 멈추지 않은 경로, 오버슈트와 할인·현금흐름 일관성을 점검하세요