Black–Scholes d1과 d2는 무엇이 다른가

d1은 ln(S/K), 금리·배당 carry, 변동성 절반항을 더한 뒤 σ√T로 나눈 표준화 값입니다.

d2는 d1에서 σ√T를 뺍니다. 변동성과 시간이 양수이면 d2는 항상 d1보다 작습니다.

시간은 연 단위, 변동성은 같은 기준의 연율, 금리와 배당은 일관된 복리규약으로 입력해야 합니다.

σ√T는 만기까지의 총 표준편차 규모이므로 변동성이 높거나 시간이 길수록 d1과 d2 간격이 커집니다.

현물과 행사가가 같아도 carry와 변동성 절반항 때문에 d1과 d2가 0을 중심으로 대칭일 필요는 없습니다.

두 값이 모두 커지면 깊은 ITM, 모두 작아지면 깊은 OTM 상태에 가까워지지만 이는 모형 내 좌표입니다.

유럽형 Call 가격은 주식가중항에서 할인된 행사가가중항을 뺀 형태로 쓸 수 있습니다.

행사가 항의 N(d2)는 위험중립측도에서 S_T가 K보다 클 모형확률과 연결되어, 만기 지급 여부를 가중합니다.

이 해석은 연속 로그정규 과정과 일관된 carry를 가정합니다. 시장의 실제 빈도확률을 직접 추정한 것이 아닙니다.

무배당 Call의 Black–Scholes Delta는 N(d1)이고, 연속 배당수익률 q가 있으면 e^(−qT)N(d1)입니다.

Delta는 현물이 조금 변할 때 옵션 이론가가 얼마나 변하는지 나타내는 국소 가격민감도입니다.

N(d1)은 주식을 numeraire로 본 가중치와 연결되므로 현금 numeraire의 만기 ITM 확률 N(d2)와 다릅니다.

유럽형 Put의 위험중립 만기 ITM 사건은 S_T<K이며 단순모형에서 N(−d2)와 연결됩니다.

무배당 Put Delta는 N(d1)−1이고 배당이 있으면 e^(−qT)(N(d1)−1) 형태가 됩니다.

Call 공식을 기억해 부호만 임의로 바꾸지 말고, payoff 사건과 민감도의 방향을 따로 확인해야 합니다.

만기 ITM 확률은 종가가 행사가 너머인지 묻고, touch 확률은 경로 중 한 번이라도 도달했는지 묻습니다.

수익확률은 진입 프리미엄과 break-even을 포함하며, 실제 예측확률은 위험프리미엄과 투자자 견해를 포함할 수 있습니다.

0.30 Delta를 ‘30% 수익확률’로 읽으면 N(d1), N(d2), 실제측도와 payoff 기준을 모두 혼동합니다.

시장 IV는 strike와 만기에 따라 달라지므로 같은 계약도 어떤 IV와 surface 규약을 쓰는지에 따라 d1·d2가 변합니다.

American 옵션의 조기행사, 이산배당, borrow 비용과 점프는 단순 유럽형 공식의 확률해석을 약화합니다.

플랫폼 Delta는 모형, IV, 배당과 금리 입력이 달라 서로 다를 수 있으므로 숫자만 떼어 비교하면 안 됩니다.

현물, 행사가, 평가시각, 만기까지 시간, IV, 금리, 배당, Call·Put과 exercise style을 기록합니다.

d1·d2와 N값을 제시할 때 Delta인지 위험중립 ITM 모형확률인지 이름을 정확히 붙입니다.

실제 의사결정에는 payoff, break-even, bid-ask, surface 변화와 시나리오 재평가를 추가합니다.