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罕見事件與期權的Importance Sampling
理解似然比重加權如何保留期望、指數傾斜如何降低罕見事件方差，以及權重退化如何破壞期權模擬
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Importance Sampling在更常訪問重要罕見結果的提議測度下模擬，再用似然比恢復原期望。合適的提議分佈可大幅降低方差；不良分佈卻會產生不穩定甚至方差無窮的權重
測度變換保留目標
對目標測度P、提議測度Q與收益h，導數有效時E_P[h(X)]=E_Q[h(X)dP/dQ(X)]
估計量對來自Q的X_i平均h(X_i)w(X_i)，其中w=dP/dQ
精確權重保持普通估計量無偏；只改抽樣規律而不加權會改變估計目標
提議分佈應令貢獻常見
若深度價外收益或違約事件幾乎總為零，粗略模擬會浪費大部分路徑
有效Q把概率移向|h|較大的狀態，同時避免加權貢獻過度不均
對非負被積函數，零方差提議密度正比於h(x)p(x)，但它需要未知期望本身
指數傾斜使用罕見事件幾何
指數傾斜用exp(θX)重加權結果，再以矩生成函數歸一化
大偏差或鞍點分析可選擇θ，使罕見目標在Q下變成典型結果
路徑、障礙、多損失模式或厚尾可能令固定傾斜失敗，需要狀態依賴、自適應或混合提議
金融有許多稀疏收益問題
可加速深度行使價期權、障礙、信貸損失、風險承擔尾部與部分似然比Greek估計
每次改變漂移或衝擊，都必須使用正確的全路徑似然比，而非只修正終值密度
貼現、風險中性動態、離散化、提前停止與路徑監測必須配合原定價目標
權重退化會抹去收益
若Q在h重要區域賦予的概率太小，少數巨大權重會主導估計
平均值可能存在，但E_Q[(hw)²]無窮會令常規方差與中心極限置信區間失效
對數權重能防止數值下溢，卻不能修復支撐缺失、無窮方差或遺漏另一重要模式
診斷能揭示但不能認證
追蹤權重直方圖、最大份額、變異系數、有效樣本量以及各狀態與路徑群貢獻
歸一化常數未知時可自我歸一化，但比例估計量在有限樣本下一般有偏
若提議從未發現相關區域，即使有效樣本量很高也不能證明準確
驗證比較相同計算預算
以相同離散化和相近總成本獨立重複粗略與重要抽樣估計
檢查樣本方差、區間覆蓋、偏差、罕見區域覆蓋、提議敏感度與事件變稀時的穩定性
盡可能使用解析或變換基準，並保留具有寬支撐的防禦性混合成分
常見問題
甚麼是Importance Sampling？
它是在另一測度下進行蒙地卡羅，再用似然比修正以保留原目標期望的方法
為甚麼適合罕見事件？
它更頻繁生成收益或損失區域的路徑，不必等待粗略模擬中的稀少貢獻
估計量總是無偏嗎？
精確加權的普通估計量在條件下無偏；自我歸一化版本在有限樣本下一般不是
甚麼是權重退化？
少數極端權重承擔幾乎全部估計值，使方差與有效資訊變得脆弱
資料來源與延伸閱讀
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