Carr–Madan Fourier 期權定價詳解

Carr–Madan 從到期對數價格的風險中性特徵函數，以及關於對數行使價的歐式認購期權價格函數出發

它在 Fourier 空間重新排列相同的貼現期望，把類似卷積的計算轉成乘積和常規積分

此方法不選擇波幅、跳躍或風險溢價；這些因素由具體模型的特徵函數提供

當對數行使價 k 趨向負無窮時，認購期權接近類似遠期的內在價值區域，因而不能在全部 k 上積分

對適當正數 α，把 C(k)乘以 e^{αk}，可在所需矩存在時令阻尼函數在兩端衰減

阻尼參數是分析工具，不代表市場偏好，也不是需要校準的額外模型參數

在常見慣例下，e^{αk}C(k)的 Fourier 變換使用 u−i(α+1)處的對數價格特徵函數

變換後認購期權支付的分母含 α 與頻率 u；若 Fourier 符號或對數價格定義改變，符號也會變化

複位移要求 E[S_T^{α+1}]有限，因此任意增大 α 可能超出模型矩域

可按每個行使價分別積分，FFT 則能一次計算等間距的一組對數行使價

點數 N、頻率間距 η 與對數行使價間距 λ 存在倒數關係，常寫為 λη=2π/N

固定 N 時，更闊的行使價範圍意味更粗的間距，覆蓋範圍與解像度不能獨立選擇

截斷無限頻率積分會產生尾部誤差，離散化則產生求積誤差

離散變換隱含的周期延拓造成混疊，使用網格外行使價還會加入插值誤差

Simpson 權重有時能改善求積，卻不能修復範圍不足、無效矩或不穩定的特徵函數

Alpha 要足夠大以阻尼支付，同時足夠小，使位移後的特徵函數存在並保持數值穩定

合適取值視期限、模型參數、尾部行為與變換慣例而定，不存在保證通用的 alpha

應測試一段可容許 alpha，並要求價格在目標容差內一致，而不是優化單一輸出

先恢復 Black–Scholes 價格，再檢查認沽認購平價、行使價單調性、凸性、價格界限與鞅條件

分別增加 N、積分範圍與精度，以識別收斂，而不是一次改變所有控制項

選取部分行使價和直接求積及另一種定價方法比較；了解誤差預算後，速度才有意義